Номер 734, страница 320 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 734, страница 320.

Условие.

734. Доказать равенство

$ \left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} $, $z_2 \neq 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства данного равенства представим комплексные числа $z_1$ и $z_2$ в тригонометрической форме. Это удобный способ для выполнения операций умножения и деления.

Пусть $z_1 = r_1(\cos \phi_1 + i \sin \phi_1)$ и $z_2 = r_2(\cos \phi_2 + i \sin \phi_2)$.

Здесь $r_1 = |z_1|$ и $r_2 = |z_2|$ — это модули комплексных чисел, а $\phi_1$ и $\phi_2$ — их аргументы. Согласно определению модуля, $r_1 \ge 0$ и $r_2 \ge 0$. Условие $z_2 \neq 0$ гарантирует, что модуль $r_2 = |z_2|$ строго больше нуля ($r_2 > 0$), поэтому деление на него возможно.

Найдем частное $\frac{z_1}{z_2}$, используя формулу деления комплексных чисел в тригонометрической форме:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1(\cos \phi_1 + i \sin \phi_1)}{r_2(\cos \phi_2 + i \sin \phi_2)} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\phi_1 - \phi_2) + i \sin(\phi_1 - \phi_2))$

Результатом деления является новое комплексное число, также представленное в тригонометрической форме. По определению, модуль комплексного числа вида $r(\cos \phi + i \sin \phi)$ равен $r$.

Следовательно, модуль левой части доказываемого равенства равен:

$|\frac{z_1}{z_2}| = |\frac{r_1}{r_2}(\cos(\phi_1 - \phi_2) + i \sin(\phi_1 - \phi_2))| = \frac{r_1}{r_2}$

Теперь рассмотрим правую часть равенства. Она представляет собой отношение модулей $|z_1|$ и $|z_2|$. Как мы определили ранее, $|z_1| = r_1$ и $|z_2| = r_2$.

Таким образом, правая часть равна:

$\frac{|z_1|}{|z_2|} = \frac{r_1}{r_2}$

Сравнивая результаты для левой и правой частей, мы видим, что они равны:

$\frac{r_1}{r_2} = \frac{r_1}{r_2}$

Это доказывает исходное равенство $|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2}|$.

Ответ: Равенство $|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2}|$ доказано путем представления комплексных чисел в тригонометрической форме, выполнения операции деления и нахождения модуля результата, который оказался равен отношению модулей исходных чисел.