Номер 736, страница 321 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 736, страница 321.

Условие.

736. Вычислить:

1) $i^5 + i^3 + i^7$

2) $i^4 + i^6 + i^8$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для вычисления выражения $i^5 + i^3 + i^7$ воспользуемся свойствами степеней мнимой единицы $i$, где $i = \sqrt{-1}$. Значения степеней $i$ циклически повторяются с периодом 4:

$i^1 = i$

$i^2 = -1$

$i^3 = i^2 \cdot i = -i$

$i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$

Чтобы найти значение $i^n$ для любого целого $n$, можно использовать свойство $i^n = i^{4k+r} = (i^4)^k \cdot i^r = 1^k \cdot i^r = i^r$, где $r$ — это остаток от деления $n$ на 4.

Упростим каждое слагаемое в выражении:

Для $i^5$: остаток от деления 5 на 4 равен 1, следовательно, $i^5 = i^1 = i$.

Для $i^3$: остаток от деления 3 на 4 равен 3, следовательно, $i^3 = -i$.

Для $i^7$: остаток от деления 7 на 4 равен 3, следовательно, $i^7 = i^3 = -i$.

Теперь сложим полученные значения:

$i^5 + i^3 + i^7 = i + (-i) + (-i) = i - i - i = -i$.

Ответ: $-i$

2) Аналогично вычислим выражение $i^4 + i^6 + i^8$.

Упростим каждое слагаемое, используя те же свойства:

Для $i^4$: остаток от деления 4 на 4 равен 0, следовательно, $i^4 = i^0 = 1$.

Для $i^6$: остаток от деления 6 на 4 равен 2, следовательно, $i^6 = i^2 = -1$.

Для $i^8$: остаток от деления 8 на 4 равен 0, следовательно, $i^8 = i^0 = 1$.

Подставим упрощенные значения в выражение и вычислим сумму:

$i^4 + i^6 + i^8 = 1 + (-1) + 1 = 1 - 1 + 1 = 1$.

Ответ: $1$