Номер 737, страница 321 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 737, страница 321.

Условие.

737. Найти значение выражения:

1) $\frac{A_{11}^3 - A_{10}^2}{A_9^1}$

2) $\frac{A_{12}^4 \cdot A_7^7}{A_{11}^9}$

3) $\frac{A_6^3}{P_4} + \frac{A_{11}^6}{11P_6}$

4) $\left(\frac{C_{11}^7 - C_5^2}{10}\right) \frac{P_6}{A_6^4}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для решения используем формулу числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Сначала вычислим значения для числителя и знаменателя:
$A_{11}^3 = \frac{11!}{(11-3)!} = \frac{11!}{8!} = 11 \cdot 10 \cdot 9 = 990$.
$A_{10}^2 = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = 10 \cdot 9 = 90$.
$A_9^1 = \frac{9!}{(9-1)!} = \frac{9!}{8!} = 9$.
Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение:
$\frac{A_{11}^3 - A_{10}^2}{A_9^1} = \frac{990 - 90}{9} = \frac{900}{9} = 100$.
Ответ: 100

2) Используем формулу числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. Также учтем, что $A_n^n = n! = P_n$ и $0! = 1$.
Запишем выражение через факториалы:
$\frac{A_{12}^4 \cdot A_7^7}{A_{11}^9} = \frac{\frac{12!}{(12-4)!} \cdot \frac{7!}{(7-7)!}}{\frac{11!}{(11-9)!}} = \frac{\frac{12!}{8!} \cdot \frac{7!}{0!}}{\frac{11!}{2!}} = \frac{12! \cdot 7! \cdot 2!}{8! \cdot 11!}$.
Сократим факториалы:
$\frac{12! \cdot 7! \cdot 2!}{8! \cdot 11!} = \frac{(12 \cdot 11!) \cdot 7! \cdot 2!}{(8 \cdot 7!) \cdot 11!} = \frac{12 \cdot 2}{8} = \frac{24}{8} = 3$.
Ответ: 3

3) Используем формулы для числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и числа перестановок $P_n = n!$.
Вычислим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое:
$\frac{A_6^3}{P_4} = \frac{\frac{6!}{(6-3)!}}{4!} = \frac{6!/3!}{4!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{4!} = \frac{120}{24} = 5$.
Второе слагаемое:
$\frac{A_{11}^6}{11 P_6} = \frac{\frac{11!}{(11-6)!}}{11 \cdot 6!} = \frac{11!/5!}{11 \cdot 6!} = \frac{11!}{5! \cdot 11 \cdot 6!} = \frac{11 \cdot 10!}{11 \cdot 5! \cdot 6!} = \frac{10!}{5! \cdot 6!}$.
$\frac{10!}{5! \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{ (5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{120} = \frac{5040}{120} = 42$.
Теперь сложим результаты:
$5 + 42 = 47$.
Ответ: 47

4) Используем формулы: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ (число сочетаний), $P_n = n!$ (число перестановок), $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ (число размещений).
Сначала вычислим значение выражения в скобках: $\frac{C_{11}^7}{10} - \frac{C_5^2}{10}$.
Используем свойство $C_n^k = C_n^{n-k}$:
$C_{11}^7 = C_{11}^{11-7} = C_{11}^4 = \frac{11!}{4!7!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 10 \cdot 3 = 330$.
$C_5^2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$.
Значение в скобках: $\frac{330}{10} - \frac{10}{10} = 33 - 1 = 32$.
Теперь вычислим второй множитель: $\frac{P_6}{A_6^4}$.
$P_6 = 6! = 720$.
$A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$.
$\frac{P_6}{A_6^4} = \frac{720}{360} = 2$.
Можно решить и через факториалы: $\frac{P_6}{A_6^4} = \frac{6!}{\frac{6!}{2!}} = 6! \cdot \frac{2!}{6!} = 2! = 2$.
Наконец, перемножим полученные значения:
$32 \cdot 2 = 64$.
Ответ: 64