Номер 732, страница 320 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 732, страница 320.

Условие.

732. Вычислить:

1) $(2 - i)^3;$

2) $\left(\frac{1 + i}{1 - i}\right)^4;$

3) $(2 + 3i)^2 - (2 - 3i)^2;$

4) $(3 + 4i)^2 + (3 - 4i)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для вычисления $(2 - i)^3$ воспользуемся формулой куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Пусть $a = 2$ и $b = i$. Тогда:

$(2 - i)^3 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot i + 3 \cdot 2 \cdot i^2 - i^3$

Зная, что $i^2 = -1$ и $i^3 = i^2 \cdot i = -i$, подставим эти значения в выражение:

$(2 - i)^3 = 8 - 3 \cdot 4 \cdot i + 6 \cdot (-1) - (-i) = 8 - 12i - 6 + i$

Сгруппируем действительную и мнимую части:

$(8 - 6) + (-12i + i) = 2 - 11i$

Ответ: $2 - 11i$

2) Сначала упростим выражение в скобках $\frac{1+i}{1-i}$, умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное к знаменателю, то есть на $1+i$.

$\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{(1+i)^2}{1^2 - i^2} = \frac{1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2}{1 - (-1)} = \frac{1 + 2i - 1}{2} = \frac{2i}{2} = i$

Теперь необходимо возвести полученный результат в четвертую степень:

$i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$

Таким образом, $(\frac{1+i}{1-i})^4 = 1$.

Ответ: $1$

3) Данное выражение представляет собой разность квадратов $a^2 - b^2$, которую можно разложить по формуле $(a-b)(a+b)$.

Пусть $a = 2 + 3i$ и $b = 2 - 3i$.

Найдем $a-b$ и $a+b$:

$a - b = (2 + 3i) - (2 - 3i) = 2 + 3i - 2 + 3i = 6i$

$a + b = (2 + 3i) + (2 - 3i) = 2 + 3i + 2 - 3i = 4$

Теперь перемножим полученные результаты:

$(a-b)(a+b) = (6i) \cdot 4 = 24i$

Ответ: $24i$

4) Для вычисления этого выражения можно сначала раскрыть квадраты, а затем сложить результаты. Или можно воспользоваться тождеством $(a+b)^2+(a-b)^2 = 2(a^2+b^2)$.

Пусть $a = 3$ и $b = 4i$.

$(3+4i)^2 + (3-4i)^2 = 2(3^2 + (4i)^2) = 2(9 + 16i^2)$

Так как $i^2 = -1$, получаем:

$2(9 + 16(-1)) = 2(9-16) = 2(-7) = -14$

Альтернативный способ: раскрыть каждый квадрат.

$(3+4i)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 4i + (4i)^2 = 9 + 24i + 16i^2 = 9 + 24i - 16 = -7 + 24i$

$(3-4i)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4i + (4i)^2 = 9 - 24i + 16i^2 = 9 - 24i - 16 = -7 - 24i$

Складываем результаты:

$(-7 + 24i) + (-7 - 24i) = -7 - 7 + 24i - 24i = -14$

Ответ: $-14$