Номер 732, страница 320 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 732, страница 320.
№732 (с. 320)
Условие. №732 (с. 320)
скриншот условия

732. Вычислить:
1) $(2 - i)^3;$
2) $\left(\frac{1 + i}{1 - i}\right)^4;$
3) $(2 + 3i)^2 - (2 - 3i)^2;$
4) $(3 + 4i)^2 + (3 - 4i)^2.$
Решение 1. №732 (с. 320)




Решение 2. №732 (с. 320)

Решение 3. №732 (с. 320)
1) Для вычисления $(2 - i)^3$ воспользуемся формулой куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
Пусть $a = 2$ и $b = i$. Тогда:
$(2 - i)^3 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot i + 3 \cdot 2 \cdot i^2 - i^3$
Зная, что $i^2 = -1$ и $i^3 = i^2 \cdot i = -i$, подставим эти значения в выражение:
$(2 - i)^3 = 8 - 3 \cdot 4 \cdot i + 6 \cdot (-1) - (-i) = 8 - 12i - 6 + i$
Сгруппируем действительную и мнимую части:
$(8 - 6) + (-12i + i) = 2 - 11i$
Ответ: $2 - 11i$
2) Сначала упростим выражение в скобках $\frac{1+i}{1-i}$, умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное к знаменателю, то есть на $1+i$.
$\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{(1+i)^2}{1^2 - i^2} = \frac{1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2}{1 - (-1)} = \frac{1 + 2i - 1}{2} = \frac{2i}{2} = i$
Теперь необходимо возвести полученный результат в четвертую степень:
$i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$
Таким образом, $(\frac{1+i}{1-i})^4 = 1$.
Ответ: $1$
3) Данное выражение представляет собой разность квадратов $a^2 - b^2$, которую можно разложить по формуле $(a-b)(a+b)$.
Пусть $a = 2 + 3i$ и $b = 2 - 3i$.
Найдем $a-b$ и $a+b$:
$a - b = (2 + 3i) - (2 - 3i) = 2 + 3i - 2 + 3i = 6i$
$a + b = (2 + 3i) + (2 - 3i) = 2 + 3i + 2 - 3i = 4$
Теперь перемножим полученные результаты:
$(a-b)(a+b) = (6i) \cdot 4 = 24i$
Ответ: $24i$
4) Для вычисления этого выражения можно сначала раскрыть квадраты, а затем сложить результаты. Или можно воспользоваться тождеством $(a+b)^2+(a-b)^2 = 2(a^2+b^2)$.
Пусть $a = 3$ и $b = 4i$.
$(3+4i)^2 + (3-4i)^2 = 2(3^2 + (4i)^2) = 2(9 + 16i^2)$
Так как $i^2 = -1$, получаем:
$2(9 + 16(-1)) = 2(9-16) = 2(-7) = -14$
Альтернативный способ: раскрыть каждый квадрат.
$(3+4i)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 4i + (4i)^2 = 9 + 24i + 16i^2 = 9 + 24i - 16 = -7 + 24i$
$(3-4i)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4i + (4i)^2 = 9 - 24i + 16i^2 = 9 - 24i - 16 = -7 - 24i$
Складываем результаты:
$(-7 + 24i) + (-7 - 24i) = -7 - 7 + 24i - 24i = -14$
Ответ: $-14$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 732 расположенного на странице 320 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №732 (с. 320), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.