Номер 725, страница 319 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 725, страница 319.

Условие.

725. Записать в виде десятичной периодической дроби число:

1) $\frac{5}{6}$;

2) $2\frac{1}{9}$;

3) $\frac{1}{7}$;

4) $5\frac{2}{11}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Чтобы записать число $\frac{5}{6}$ в виде десятичной периодической дроби, необходимо выполнить деление числителя на знаменатель. Разделим 5 на 6 столбиком:

$5 \div 6 = 0$ (целая часть равна 0).
$50 \div 6 = 8$ с остатком $2$ ($50 - 48 = 2$). Первая цифра после запятой — 8.
К остатку $2$ приписываем $0$, получаем $20$.
$20 \div 6 = 3$ с остатком $2$ ($20 - 18 = 2$). Вторая цифра после запятой — 3.
К остатку $2$ снова приписываем $0$, получаем $20$.
$20 \div 6 = 3$ с остатком $2$.

Так как остаток $2$ постоянно повторяется, то и в частном будет бесконечно повторяться цифра 3. Таким образом, получаем десятичную дробь $0,8333...$. Цифра 3 является периодом дроби.

Запись в виде периодической дроби: $\frac{5}{6} = 0,8(3)$.

Ответ: $0,8(3)$

2)

Число $2\frac{1}{9}$ является смешанным. Целая часть равна 2. Для нахождения дробной части нужно перевести $\frac{1}{9}$ в десятичную дробь, разделив 1 на 9:

$1 \div 9 = 0$ (целая часть равна 0).
$10 \div 9 = 1$ с остатком $1$ ($10 - 9 = 1$). Первая цифра после запятой — 1.
К остатку $1$ приписываем $0$, получаем $10$.
$10 \div 9 = 1$ с остатком $1$.

Остаток $1$ будет повторяться бесконечно, следовательно, цифра 1 в дробной части также будет повторяться бесконечно. Дробная часть равна $0,111...$, что записывается как $0,(1)$.

Складываем целую и дробную части: $2 + 0,(1) = 2,(1)$.

Ответ: $2,(1)$

3)

Чтобы записать число $\frac{1}{7}$ в виде десятичной периодической дроби, разделим 1 на 7 столбиком:

$1 \div 7 = 0$ (целая часть равна 0).
$10 \div 7 = 1$ с остатком $3$.
$30 \div 7 = 4$ с остатком $2$.
$20 \div 7 = 2$ с остатком $6$.
$60 \div 7 = 8$ с остатком $4$.
$40 \div 7 = 5$ с остатком $5$.
$50 \div 7 = 7$ с остатком $1$.

Мы получили остаток $1$, с которого начинали деление (после получения целой части). Это означает, что последовательность цифр в частном начнет повторяться. Периодом дроби является группа цифр $142857$.

Запись в виде периодической дроби: $\frac{1}{7} = 0,142857142857... = 0,(142857)$.

Ответ: $0,(142857)$

4)

Число $5\frac{2}{11}$ является смешанным. Целая часть равна 5. Для нахождения дробной части переведем $\frac{2}{11}$ в десятичную дробь, разделив 2 на 11:

$2 \div 11 = 0$ (целая часть равна 0).
$20 \div 11 = 1$ с остатком $9$ ($20 - 11 = 9$).
$90 \div 11 = 8$ с остатком $2$ ($90 - 88 = 2$).

Мы получили остаток $2$, с которого начинали деление дробной части. Следовательно, группа цифр $18$ будет повторяться. Дробная часть равна $0,1818...$, что записывается как $0,(18)$.

Складываем целую и дробную части: $5 + 0,(18) = 5,(18)$.

Ответ: $5,(18)$