Номер 719, страница 319 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 719, страница 319.

Условие.

719. Доказать тождество $ \log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_d c = \log_d a $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $ \log_x y = \frac{\log_z y}{\log_z x} $.

Приведем все логарифмы в выражении $ \log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_d c $ к основанию $d$.

Первый множитель: $ \log_b a = \frac{\log_d a}{\log_d b} $.

Второй множитель: $ \log_c b = \frac{\log_d b}{\log_d c} $.

Третий множитель $ \log_d c $ уже имеет необходимое основание.

Теперь подставим преобразованные множители в левую часть исходного равенства:
$ \log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_d c = \frac{\log_d a}{\log_d b} \cdot \frac{\log_d b}{\log_d c} \cdot \log_d c $

Сократим одинаковые выражения в числителе и знаменателе ($ \log_d b $ и $ \log_d c $):
$ \frac{\log_d a}{\cancel{\log_d b}} \cdot \frac{\cancel{\log_d b}}{\cancel{\log_d c}} \cdot \cancel{\log_d c} = \log_d a $

В результате мы получили, что левая часть тождества равна $ \log_d a $, что совпадает с его правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.