Номер 712, страница 318 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 712, страница 318.

Условие.

712. 1) $\log_3 \frac{9}{\sqrt[5]{3}} + \log_6 \sqrt[5]{36};$

2) $16^{0.5\log_4 10 + 1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Вычислим значение выражения $\log_3{\frac{9}{\sqrt[5]{3}}} + \log_6{\sqrt[5]{36}}$.

Для этого упростим каждое слагаемое по отдельности, используя свойства логарифмов и степеней.

Первое слагаемое: $\log_3{\frac{9}{\sqrt[5]{3}}}$

Сначала преобразуем аргумент логарифма, представив его в виде степени с основанием 3:
$\frac{9}{\sqrt[5]{3}} = \frac{3^2}{3^{\frac{1}{5}}}$
По свойству частного степеней с одинаковым основанием ($a^m/a^n = a^{m-n}$):
$\frac{3^2}{3^{\frac{1}{5}}} = 3^{2 - \frac{1}{5}} = 3^{\frac{10}{5} - \frac{1}{5}} = 3^{\frac{9}{5}}$
Теперь вычислим логарифм:
$\log_3{\left(3^{\frac{9}{5}}\right)} = \frac{9}{5}$ (согласно определению логарифма $\log_a{a^x} = x$).

Второе слагаемое: $\log_6{\sqrt[5]{36}}$

Преобразуем аргумент логарифма в степень с основанием 6:
$\sqrt[5]{36} = \sqrt[5]{6^2} = (6^2)^{\frac{1}{5}}$
По свойству возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):
$(6^2)^{\frac{1}{5}} = 6^{2 \cdot \frac{1}{5}} = 6^{\frac{2}{5}}$
Теперь вычислим логарифм:
$\log_6{\left(6^{\frac{2}{5}}\right)} = \frac{2}{5}$.

Сумма:

Сложим полученные результаты:
$\frac{9}{5} + \frac{2}{5} = \frac{9+2}{5} = \frac{11}{5} = 2,2$.

Ответ: $2,2$.

---

2) Вычислим значение выражения $16^{0,5\log_4{10}+1}$.

Используем свойство сложения показателей степени ($a^{m+n} = a^m \cdot a^n$):
$16^{0,5\log_4{10}+1} = 16^{0,5\log_4{10}} \cdot 16^1$.

Теперь преобразуем первый множитель $16^{0,5\log_4{10}}$.

Представим основание степени 16 как степень с основанием 4, чтобы оно совпадало с основанием логарифма:
$16 = 4^2$.
Подставим это в выражение:
$(4^2)^{0,5\log_4{10}}$.

По свойству возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$), перемножим показатели:
$4^{2 \cdot 0,5\log_4{10}} = 4^{1 \cdot \log_4{10}} = 4^{\log_4{10}}$.

Используя основное логарифмическое тождество ($a^{\log_a{b}} = b$), получаем:
$4^{\log_4{10}} = 10$.

Теперь вернемся к исходному выражению и подставим вычисленное значение:
$16^{0,5\log_4{10}} \cdot 16^1 = 10 \cdot 16 = 160$.

Ответ: $160$.