Номер 717, страница 319 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 717, страница 319.

Условие.

717. Между какими целыми заключено число:

1) $lg 50$;

2) $\log_2 10$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) lg 50

Чтобы определить, между какими целыми числами заключено число $ \lg 50 $, нам нужно найти такое целое число $n$, для которого выполняется неравенство $n < \lg 50 < n+1$.

Запись $ \lg 50 $ означает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $ \lg 50 = \log_{10} 50 $.

Неравенство $ n < \log_{10} 50 < n+1 $ эквивалентно неравенству $ 10^n < 50 < 10^{n+1} $, поскольку логарифмическая функция с основанием 10 является возрастающей.

Рассмотрим степени числа 10, ближайшие к 50:

$ 10^1 = 10 $

$ 10^2 = 100 $

Мы видим, что число 50 находится между 10 и 100:

$ 10 < 50 < 100 $

Запишем это неравенство, используя степени числа 10:

$ 10^1 < 50 < 10^2 $

Теперь прологарифмируем все части неравенства по основанию 10:

$ \log_{10}(10^1) < \log_{10}(50) < \log_{10}(10^2) $

Используя свойство логарифма $ \log_a(a^b) = b $, получаем:

$ 1 < \log_{10} 50 < 2 $

Следовательно, число $ \lg 50 $ заключено между целыми числами 1 и 2.

Ответ: между 1 и 2.

2) log₂10

Чтобы определить, между какими целыми числами заключено число $ \log_2 10 $, нам нужно найти такое целое число $n$, для которого выполняется неравенство $n < \log_2 10 < n+1$.

Данное неравенство эквивалентно неравенству $ 2^n < 10 < 2^{n+1} $, так как логарифмическая функция с основанием 2 является возрастающей.

Рассмотрим степени числа 2, ближайшие к 10:

$ 2^3 = 8 $

$ 2^4 = 16 $

Мы видим, что число 10 находится между 8 и 16:

$ 8 < 10 < 16 $

Запишем это неравенство, используя степени числа 2:

$ 2^3 < 10 < 2^4 $

Теперь прологарифмируем все части неравенства по основанию 2:

$ \log_2(2^3) < \log_2(10) < \log_2(2^4) $

Используя свойство логарифма $ \log_a(a^b) = b $, получаем:

$ 3 < \log_2 10 < 4 $

Следовательно, число $ \log_2 10 $ заключено между целыми числами 3 и 4.

Ответ: между 3 и 4.