Номер 710, страница 318 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 710, страница 318.

Условие.

710. 1) $\log_{\frac{1}{16}} \sqrt[5]{64}$

2) $\log_8 \log_4 \log_2 16$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для решения выражения $\log_{\frac{1}{16}} \sqrt[5]{64}$ представим основание и аргумент логарифма в виде степеней одного и того же числа, например, 2.
Основание логарифма: $\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$.
Аргумент логарифма: $\sqrt[5]{64} = \sqrt[5]{2^6} = (2^6)^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{6}{5}}$.
Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
$\log_{2^{-4}} 2^{\frac{6}{5}}$.
Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$:
$\log_{2^{-4}} 2^{\frac{6}{5}} = \frac{\frac{6}{5}}{-4} \log_2 2$.
Так как $\log_2 2 = 1$, получаем:
$\frac{\frac{6}{5}}{-4} = \frac{6}{5 \cdot (-4)} = \frac{6}{-20} = -\frac{3}{10}$.
Ответ: $-\frac{3}{10}$

2) Для решения выражения $\log_8(\log_4(\log_2 16))$ вычисления будем производить последовательно, начиная с самого внутреннего логарифма.
1. Вычислим внутренний логарифм: $\log_2 16$. Так как $16 = 2^4$, то $\log_2 16 = 4$.
2. Подставим полученное значение в выражение: $\log_8(\log_4(4))$.
3. Теперь вычислим следующий логарифм: $\log_4 4$. По определению логарифма, $\log_a a = 1$, следовательно $\log_4 4 = 1$.
4. Подставим новое значение: $\log_8(1)$.
5. Логарифм единицы по любому основанию (кроме 1) равен нулю, так как $a^0 = 1$. Таким образом, $\log_8 1 = 0$.
Ответ: $0$