Номер 703, страница 318 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 703, страница 318.

Условие.

703. Найти последнюю цифру числа:

1) $9^{9^9}$;

2) $2^{3^4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы найти последнюю цифру числа $9^{9^9}$, необходимо проанализировать, как ведут себя последние цифры степеней числа 9. Для этого выпишем несколько первых степеней:

$9^1 = 9$

$9^2 = 81$ (последняя цифра 1)

$9^3 = 729$ (последняя цифра 9)

$9^4 = 6561$ (последняя цифра 1)

Можно заметить закономерность: последняя цифра степеней числа 9 циклически повторяется с периодом 2.

• Если показатель степени — нечетное число ($1, 3, 5, \dots$), то последняя цифра равна 9.
• Если показатель степени — четное число ($2, 4, 6, \dots$), то последняя цифра равна 1.

В нашем случае основание степени равно 9, а показатель степени — $9^9$. Нам нужно определить, является ли число $9^9$ четным или нечетным. Число 9 является нечетным. Произведение любого количества нечетных чисел всегда является нечетным числом. Так как $9^9$ — это произведение девяти девяток, результат будет нечетным.

Поскольку показатель степени $9^9$ — нечетное число, последняя цифра числа $9^{9^9}$ будет такой же, как у $9^1$, то есть 9.

Ответ: 9

2) Чтобы найти последнюю цифру числа $2^{3^4}$, сначала упростим показатель степени:

$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 9 = 81$.

Таким образом, нам нужно найти последнюю цифру числа $2^{81}$. Рассмотрим, как меняются последние цифры степеней числа 2:

$2^1 = 2$

$2^2 = 4$

$2^3 = 8$

$2^4 = 16$ (последняя цифра 6)

$2^5 = 32$ (последняя цифра 2)

$2^6 = 64$ (последняя цифра 4)

Мы видим, что последние цифры степеней двойки циклически повторяются с периодом 4: (2, 4, 8, 6). Чтобы найти последнюю цифру числа $2^{81}$, нам нужно определить, на каком месте в этом цикле она будет находиться. Для этого найдем остаток от деления показателя степени 81 на длину цикла, то есть на 4.

$81 \div 4 = 20$ с остатком 1. Математически это записывается как $81 \equiv 1 \pmod{4}$.

Остаток 1 означает, что последняя цифра числа $2^{81}$ будет такой же, как у первого члена в нашем цикле, то есть как у $2^1$. Последняя цифра $2^1$ — это 2.

Ответ: 2