Номер 698, страница 318 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 698, страница 318.
№698 (с. 318)
Условие. №698 (с. 318)
скриншот условия

698. Доказать, что при любом простом $p > 3$ число $p^2 - 1$ делится на 24.
Решение 1. №698 (с. 318)

Решение 2. №698 (с. 318)

Решение 3. №698 (с. 318)
Чтобы доказать, что число $p^2 - 1$ делится на 24 при любом простом $p > 3$, нам нужно показать, что оно делится на 3 и на 8, так как $24 = 3 \times 8$ и числа 3 и 8 являются взаимно простыми.
Доказательство делимости на 3
Воспользуемся формулой разности квадратов, чтобы разложить выражение: $p^2 - 1 = (p-1)(p+1)$.
Числа $(p-1)$, $p$, $(p+1)$ являются тремя последовательными целыми числами. Из трех последовательных целых чисел одно всегда делится на 3.
Согласно условию, $p$ — простое число и $p > 3$, следовательно, $p$ не делится на 3. Значит, на 3 должно делиться одно из соседних с ним чисел: либо $(p-1)$, либо $(p+1)$.
Поскольку один из множителей в произведении $(p-1)(p+1)$ делится на 3, то и все произведение $p^2 - 1$ делится на 3.
Доказательство делимости на 8
Любое простое число $p > 3$ является нечетным. Следовательно, числа $(p-1)$ и $(p+1)$ являются двумя последовательными четными числами.
Рассмотрим два последовательных четных числа. Одно из них гарантированно делится на 4 (например, в паре 6 и 8, число 8 делится на 4; в паре 10 и 12, число 12 делится на 4). Другое число в паре, будучи четным, делится как минимум на 2.
Таким образом, в произведении $(p-1)(p+1)$ один множитель делится на 4, а другой на 2. Следовательно, всё произведение делится на $4 \times 2 = 8$. Значит, $p^2 - 1$ делится на 8.
Поскольку было доказано, что $p^2 - 1$ делится на 3 и на 8, а эти числа взаимно просты, то $p^2 - 1$ делится на их произведение, равное 24.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 698 расположенного на странице 318 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №698 (с. 318), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.