Номер 698, страница 318 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 698, страница 318.

Условие.

698. Доказать, что при любом простом $p > 3$ число $p^2 - 1$ делится на 24.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы доказать, что число $p^2 - 1$ делится на 24 при любом простом $p > 3$, нам нужно показать, что оно делится на 3 и на 8, так как $24 = 3 \times 8$ и числа 3 и 8 являются взаимно простыми.

Доказательство делимости на 3

Воспользуемся формулой разности квадратов, чтобы разложить выражение: $p^2 - 1 = (p-1)(p+1)$.

Числа $(p-1)$, $p$, $(p+1)$ являются тремя последовательными целыми числами. Из трех последовательных целых чисел одно всегда делится на 3.

Согласно условию, $p$ — простое число и $p > 3$, следовательно, $p$ не делится на 3. Значит, на 3 должно делиться одно из соседних с ним чисел: либо $(p-1)$, либо $(p+1)$.

Поскольку один из множителей в произведении $(p-1)(p+1)$ делится на 3, то и все произведение $p^2 - 1$ делится на 3.

Доказательство делимости на 8

Любое простое число $p > 3$ является нечетным. Следовательно, числа $(p-1)$ и $(p+1)$ являются двумя последовательными четными числами.

Рассмотрим два последовательных четных числа. Одно из них гарантированно делится на 4 (например, в паре 6 и 8, число 8 делится на 4; в паре 10 и 12, число 12 делится на 4). Другое число в паре, будучи четным, делится как минимум на 2.

Таким образом, в произведении $(p-1)(p+1)$ один множитель делится на 4, а другой на 2. Следовательно, всё произведение делится на $4 \times 2 = 8$. Значит, $p^2 - 1$ делится на 8.

Поскольку было доказано, что $p^2 - 1$ делится на 3 и на 8, а эти числа взаимно просты, то $p^2 - 1$ делится на их произведение, равное 24.

Ответ: Утверждение доказано.