Номер 699, страница 318 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 699, страница 318.

Условие.

699. Доказать, что при любом натуральном $n > 1$ число $n^4 + 4$ является составным.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы доказать, что число $n^4 + 4$ является составным при любом натуральном $n > 1$, нужно показать, что его можно разложить на два множителя, каждый из которых является целым числом, большим 1.

Рассмотрим выражение $n^4 + 4$. Мы можем преобразовать его, дополнив до полного квадрата. Формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a = n^2$ и $b = 2$. Чтобы получить полный квадрат $(n^2+2)^2 = n^4 + 4n^2 + 4$, нам не хватает слагаемого $4n^2$. Добавим и вычтем это слагаемое, чтобы не изменить значение выражения:

$n^4 + 4 = n^4 + 4n^2 + 4 - 4n^2$

Теперь сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат:

$(n^4 + 4n^2 + 4) - 4n^2 = (n^2 + 2)^2 - (2n)^2$

Мы получили разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(n^2 + 2)^2 - (2n)^2 = (n^2 + 2 - 2n)(n^2 + 2 + 2n)$

Переставим слагаемые в множителях для стандартного вида:

$n^4 + 4 = (n^2 - 2n + 2)(n^2 + 2n + 2)$

Мы разложили число $n^4 + 4$ на два множителя: $(n^2 - 2n + 2)$ и $(n^2 + 2n + 2)$. Теперь нужно доказать, что при $n > 1$ каждый из этих множителей является целым числом больше 1.

1. Рассмотрим первый множитель: $n^2 - 2n + 2$.Поскольку $n$ — натуральное число, этот множитель является целым числом. Преобразуем его, выделив полный квадрат:$n^2 - 2n + 2 = (n^2 - 2n + 1) + 1 = (n - 1)^2 + 1$.По условию $n > 1$, значит $n \ge 2$ (так как $n$ натуральное).Тогда $n - 1 \ge 1$, и $(n - 1)^2 \ge 1^2 = 1$.Следовательно, $(n - 1)^2 + 1 \ge 1 + 1 = 2$.Таким образом, первый множитель $n^2 - 2n + 2$ всегда больше или равен 2, то есть является целым числом больше 1.

2. Рассмотрим второй множитель: $n^2 + 2n + 2$.Этот множитель также является целым числом. Так как $n > 1$ (то есть $n \ge 2$), все слагаемые положительны.При наименьшем возможном значении $n=2$:$2^2 + 2(2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10$.Поскольку функция $f(n) = n^2 + 2n + 2$ возрастает для $n > 0$, при всех $n \ge 2$ значение этого множителя будет больше или равно 10.Следовательно, второй множитель $n^2 + 2n + 2$ также всегда является целым числом больше 1.

Итак, мы представили число $n^4 + 4$ в виде произведения двух целых чисел, каждое из которых строго больше 1. Это по определению означает, что число $n^4 + 4$ является составным для любого натурального $n > 1$.

Ответ: При любом натуральном $n>1$ число $n^4+4$ можно представить в виде произведения двух целых чисел $(n^2-2n+2)$ и $(n^2+2n+2)$. Так как при $n>1$ оба множителя больше 1 (первый множитель $(n-1)^2+1 \ge 2$, второй множитель $(n+1)^2+1 \ge 10$), число $n^4+4$ является составным.