Номер 699, страница 318 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 699, страница 318.
№699 (с. 318)
Условие. №699 (с. 318)
скриншот условия

699. Доказать, что при любом натуральном $n > 1$ число $n^4 + 4$ является составным.
Решение 1. №699 (с. 318)

Решение 2. №699 (с. 318)

Решение 3. №699 (с. 318)
Для того чтобы доказать, что число $n^4 + 4$ является составным при любом натуральном $n > 1$, нужно показать, что его можно разложить на два множителя, каждый из которых является целым числом, большим 1.
Рассмотрим выражение $n^4 + 4$. Мы можем преобразовать его, дополнив до полного квадрата. Формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a = n^2$ и $b = 2$. Чтобы получить полный квадрат $(n^2+2)^2 = n^4 + 4n^2 + 4$, нам не хватает слагаемого $4n^2$. Добавим и вычтем это слагаемое, чтобы не изменить значение выражения:
$n^4 + 4 = n^4 + 4n^2 + 4 - 4n^2$
Теперь сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат:
$(n^4 + 4n^2 + 4) - 4n^2 = (n^2 + 2)^2 - (2n)^2$
Мы получили разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(n^2 + 2)^2 - (2n)^2 = (n^2 + 2 - 2n)(n^2 + 2 + 2n)$
Переставим слагаемые в множителях для стандартного вида:
$n^4 + 4 = (n^2 - 2n + 2)(n^2 + 2n + 2)$
Мы разложили число $n^4 + 4$ на два множителя: $(n^2 - 2n + 2)$ и $(n^2 + 2n + 2)$. Теперь нужно доказать, что при $n > 1$ каждый из этих множителей является целым числом больше 1.
1. Рассмотрим первый множитель: $n^2 - 2n + 2$.Поскольку $n$ — натуральное число, этот множитель является целым числом. Преобразуем его, выделив полный квадрат:$n^2 - 2n + 2 = (n^2 - 2n + 1) + 1 = (n - 1)^2 + 1$.По условию $n > 1$, значит $n \ge 2$ (так как $n$ натуральное).Тогда $n - 1 \ge 1$, и $(n - 1)^2 \ge 1^2 = 1$.Следовательно, $(n - 1)^2 + 1 \ge 1 + 1 = 2$.Таким образом, первый множитель $n^2 - 2n + 2$ всегда больше или равен 2, то есть является целым числом больше 1.
2. Рассмотрим второй множитель: $n^2 + 2n + 2$.Этот множитель также является целым числом. Так как $n > 1$ (то есть $n \ge 2$), все слагаемые положительны.При наименьшем возможном значении $n=2$:$2^2 + 2(2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10$.Поскольку функция $f(n) = n^2 + 2n + 2$ возрастает для $n > 0$, при всех $n \ge 2$ значение этого множителя будет больше или равно 10.Следовательно, второй множитель $n^2 + 2n + 2$ также всегда является целым числом больше 1.
Итак, мы представили число $n^4 + 4$ в виде произведения двух целых чисел, каждое из которых строго больше 1. Это по определению означает, что число $n^4 + 4$ является составным для любого натурального $n > 1$.
Ответ: При любом натуральном $n>1$ число $n^4+4$ можно представить в виде произведения двух целых чисел $(n^2-2n+2)$ и $(n^2+2n+2)$. Так как при $n>1$ оба множителя больше 1 (первый множитель $(n-1)^2+1 \ge 2$, второй множитель $(n+1)^2+1 \ge 10$), число $n^4+4$ является составным.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 699 расположенного на странице 318 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №699 (с. 318), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.