Номер 706, страница 318 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 706, страница 318.

Условие.

706. Доказать, что произведение любых $n$ последовательных натуральных чисел делится на $n!$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства этого утверждения мы покажем, что частное от деления произведения любых $n$ последовательных натуральных чисел на $n!$ всегда является целым числом.

Обозначим произведение $n$ последовательных натуральных чисел как $P$. Пусть первое число в этой последовательности равно $m$, где $m$ — любое натуральное число ($m \ge 1$). Тогда последовательность имеет вид: $m, m+1, m+2, \dots, m+n-1$.

Их произведение равно: $P = m \cdot (m+1) \cdot (m+2) \cdots (m+n-1)$.

Нам нужно доказать, что $P$ делится на $n!$ без остатка, то есть что выражение $\frac{P}{n!}$ является целым числом.

Рассмотрим это выражение: $\frac{m \cdot (m+1) \cdot (m+2) \cdots (m+n-1)}{n!}$

Для преобразования этого выражения умножим числитель и знаменатель на $(m-1)!$. Заметим, что $(m-1)!$ определено для всех натуральных $m \ge 1$ (так как $0! = 1$).

$\frac{m \cdot (m+1) \cdots (m+n-1)}{n!} = \frac{(m-1)! \cdot m \cdot (m+1) \cdots (m+n-1)}{n! \cdot (m-1)!}$

В числителе мы получили произведение всех натуральных чисел от $1$ до $m+n-1$, что по определению является факториалом числа $(m+n-1)$: $(m-1)! \cdot m \cdot (m+1) \cdots (m+n-1) = (m+n-1)!$

Таким образом, наше выражение принимает вид: $\frac{(m+n-1)!}{n! \cdot (m-1)!}$

Эта формула является определением биномиального коэффициента, который обозначается как $\binom{m+n-1}{n}$ или $C_{m+n-1}^n$. Биномиальный коэффициент $\binom{N}{k} = \frac{N!}{k!(N-k)!}$ по своему комбинаторному смыслу равен числу способов выбрать $k$ элементов из множества, содержащего $N$ различных элементов.

Поскольку количество способов совершить выбор не может быть дробным или отрицательным числом, значение любого биномиального коэффициента всегда является целым неотрицательным числом. В нашем случае $m \ge 1$ и $n \ge 1$, поэтому $m+n-1 \ge n$, и биномиальный коэффициент $\binom{m+n-1}{n}$ представляет собой натуральное число.

Пример:
Возьмём $n=4$ последовательных числа, начиная с $m=5$.
Последовательность: $5, 6, 7, 8$.
Их произведение: $P = 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 = 1680$.
Значение $n!$ равно $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$.
Проверим делимость: $\frac{1680}{24} = 70$.
С помощью формулы биномиального коэффициента: $\binom{5+4-1}{4} = \binom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{40320}{24 \cdot 24} = \frac{40320}{576} = 70$.
Результат — целое число, что подтверждает наше доказательство.

Таким образом, мы доказали, что выражение $\frac{P}{n!}$ всегда равно целому числу. Следовательно, произведение любых $n$ последовательных натуральных чисел всегда делится на $n!$.

Ответ: Что и требовалось доказать.