Номер 708, страница 318 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 708, страница 318.

Условие.

Вычислить (708–712).

708. $ \left( \frac{15 \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{125^{-\frac{1}{3}}} - 2 \cdot 7^2 \cdot 49^4 \right) \left( \left(\frac{1}{81}\right)^{-\frac{1}{4}} + 45^{\frac{1}{2}} \right) - 183\sqrt{5}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данного выражения разобьем его на последовательные действия и упростим каждый компонент.

1. Упростим выражение в первой скобке $(\frac{15 \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{125^{-\frac{1}{3}}} - 2 \cdot 72^{\frac{1}{2}} \cdot 49^{\frac{1}{4}})$

Сначала вычислим значение дроби $\frac{15 \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{125^{-\frac{1}{3}}}$. Для этого преобразуем знаменатель:

$125^{-\frac{1}{3}} = (5^3)^{-\frac{1}{3}} = 5^{3 \cdot (-\frac{1}{3})} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.

Теперь подставим это значение в дробь и упростим:

$\frac{15 \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{5}} = 15 \cdot 5^{\frac{1}{2}} \cdot 5 = (3 \cdot 5) \cdot 5^{\frac{1}{2}} \cdot 5 = 3 \cdot 5^{1+\frac{1}{2}+1} = 3 \cdot 5^{\frac{5}{2}} = 3 \sqrt{5^5} = 3 \sqrt{5^4 \cdot 5} = 3 \cdot 5^2\sqrt{5} = 75\sqrt{5}$.

Далее вычислим второе слагаемое в скобке: $2 \cdot 72^{\frac{1}{2}} \cdot 49^{\frac{1}{4}}$.

Упростим каждый множитель со степенью:

$72^{\frac{1}{2}} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.

$49^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{49} = \sqrt[4]{7^2} = 7^{\frac{2}{4}} = 7^{\frac{1}{2}} = \sqrt{7}$.

Перемножим полученные значения: $2 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{7} = 12\sqrt{2 \cdot 7} = 12\sqrt{14}$.

Таким образом, значение всего выражения в первой скобке равно $75\sqrt{5} - 12\sqrt{14}$.

2. Упростим выражение во второй скобке $(\left(\frac{1}{81}\right)^{-\frac{1}{4}} + 45^{\frac{1}{2}})$

Вычислим первое слагаемое: $(\frac{1}{81})^{-\frac{1}{4}}$.

$(\frac{1}{81})^{-\frac{1}{4}} = (81^{-1})^{-\frac{1}{4}} = 81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.

Вычислим второе слагаемое: $45^{\frac{1}{2}}$.

$45^{\frac{1}{2}} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$.

Следовательно, значение выражения во второй скобке равно $3 + 3\sqrt{5}$.

3. Перемножим результаты и завершим вычисление

Теперь необходимо перемножить значения, полученные для каждой из скобок, и вычесть последний член изначального выражения:

$(75\sqrt{5} - 12\sqrt{14})(3 + 3\sqrt{5}) - 183\sqrt{5}$

Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов:

$= (75\sqrt{5} \cdot 3) + (75\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5}) - (12\sqrt{14} \cdot 3) - (12\sqrt{14} \cdot 3\sqrt{5}) - 183\sqrt{5}$

$= 225\sqrt{5} + 225 \cdot 5 - 36\sqrt{14} - 36\sqrt{70} - 183\sqrt{5}$

$= 225\sqrt{5} + 1125 - 36\sqrt{14} - 36\sqrt{70} - 183\sqrt{5}$

Сгруппируем подобные слагаемые (члены с $\sqrt{5}$ и свободные члены):

$(225\sqrt{5} - 183\sqrt{5}) + 1125 - 36\sqrt{14} - 36\sqrt{70}$

Выполним вычитание:

$= 42\sqrt{5} + 1125 - 36\sqrt{14} - 36\sqrt{70}$.

Так как подкоренные выражения $5, 14, 70$ различны и не могут быть упрощены для приведения подобных, это является окончательным результатом.

Ответ: $1125 + 42\sqrt{5} - 36\sqrt{14} - 36\sqrt{70}$