Номер 715, страница 319 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 715, страница 319.

Условие.

715. Какому из промежутков $0 < a < 1$ или $a > 1$ принадлежит число $a$, если:

1) $a^{0,2} > 1;$

2) $a^{-1,3} > 1;$

3) $a^{-3,1} < 1;$

4) $a^{2,7} < 1;$

5) $\log_a 0,2 > 0;$

6) $\log_a 1,3 > 0? $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами монотонности показательной и логарифмической функций.

• Показательная функция $y = a^x$ является возрастающей при $a > 1$ (большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции) и убывающей при $0 < a < 1$ (большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции). При этом для любого основания $a > 0, a \neq 1$ выполняется $a^0 = 1$.
• Логарифмическая функция $y = \log_a x$ является возрастающей при $a > 1$ (большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции) и убывающей при $0 < a < 1$ (большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции). При этом для любого основания $a > 0, a \neq 1$ выполняется $\log_a 1 = 0$.

1) $a^{0,2} > 1$

Представим число 1 в виде степени с основанием $a$: $1 = a^0$. Неравенство примет вид: $a^{0,2} > a^0$.

Сравним показатели степеней: $0,2 > 0$.

Так как знак неравенства для значений степеней ($>$) совпадает со знаком неравенства для их показателей ($>$), то показательная функция $y=a^x$ является возрастающей. Это свойство выполняется при основании $a > 1$.

Ответ: $a > 1$.

2) $a^{-1,3} > 1$

Представим 1 как $a^0$. Получим неравенство $a^{-1,3} > a^0$.

Сравним показатели степеней: $-1,3 < 0$.

Знак неравенства для значений степеней ($>$) противоположен знаку неравенства для их показателей ($<$). Это означает, что показательная функция $y=a^x$ является убывающей. Это свойство выполняется при основании $0 < a < 1$.

Ответ: $0 < a < 1$.

3) $a^{-3,1} < 1$

Запишем 1 как $a^0$, тогда неравенство будет $a^{-3,1} < a^0$.

Сравним показатели степеней: $-3,1 < 0$.

Знак неравенства для значений степеней ($<$) совпадает со знаком неравенства для их показателей ($<$). Следовательно, показательная функция $y=a^x$ является возрастающей, что верно для основания $a > 1$.

Ответ: $a > 1$.

4) $a^{2,7} < 1$

Представим 1 как $a^0$. Неравенство примет вид $a^{2,7} < a^0$.

Сравним показатели степеней: $2,7 > 0$.

Знак неравенства для значений степеней ($<$) противоположен знаку неравенства для их показателей ($>$). Это означает, что показательная функция $y=a^x$ является убывающей, что справедливо при основании $0 < a < 1$.

Ответ: $0 < a < 1$.

5) $\log_a 0,2 > 0$

Представим 0 в виде логарифма с основанием $a$: $0 = \log_a 1$. Неравенство примет вид: $\log_a 0,2 > \log_a 1$.

Сравним числа под знаком логарифма: $0,2 < 1$.

Знак неравенства для значений логарифмов ($>$) противоположен знаку неравенства для их аргументов ($<$). Это означает, что логарифмическая функция $y=\log_a x$ является убывающей. Это свойство выполняется при основании $0 < a < 1$.

Ответ: $0 < a < 1$.

6) $\log_a 1,3 > 0$

Запишем 0 как $\log_a 1$. Получим неравенство $\log_a 1,3 > \log_a 1$.

Сравним числа под знаком логарифма: $1,3 > 1$.

Знак неравенства для значений логарифмов ($>$) совпадает со знаком неравенства для их аргументов ($>$). Следовательно, логарифмическая функция $y=\log_a x$ является возрастающей, что верно для основания $a > 1$.

Ответ: $a > 1$.