Номер 713, страница 319 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 713, страница 319.

Условие.

713. Найти значение выражения $\sqrt[4]{36^{\log_6 5} - 5^{\log_5 9}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения значения выражения $\sqrt[4]{36^{\log_6 5} - 5^{\log_5 9}}$ необходимо последовательно упростить выражение, стоящее под знаком корня.

Рассмотрим по отдельности каждое слагаемое в подкоренном выражении.

1. Упростим первое слагаемое: $36^{\log_6 5}$.

Представим основание 36 как степень числа 6: $36 = 6^2$.

Подставим это в выражение: $36^{\log_6 5} = (6^2)^{\log_6 5}$.

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $(6^2)^{\log_6 5} = 6^{2 \cdot \log_6 5}$.

Теперь применим свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a b^k$:

$6^{2 \cdot \log_6 5} = 6^{\log_6 5^2} = 6^{\log_6 25}$.

Согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$6^{\log_6 25} = 25$.

2. Упростим второе слагаемое: $5^{\log_5 9}$.

Сразу применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$5^{\log_5 9} = 9$.

3. Подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$\sqrt[4]{36^{\log_6 5} - 5^{\log_5 9}} = \sqrt[4]{25 - 9}$.

Выполним вычитание под знаком корня:

$25 - 9 = 16$.

Таким образом, выражение сводится к $\sqrt[4]{16}$.

4. Найдем значение корня. Нам нужно найти число, которое при возведении в четвертую степень дает 16. Таким числом является 2, так как $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

$\sqrt[4]{16} = 2$.

Ответ: 2.