Номер 714, страница 319 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 714, страница 319.

Условие.

714. Сравнить числа:

1) $2,5^{\frac{1}{7}}$ и $2,5^{0,5}$;

2) $0,2^{\frac{2}{3}}$ и $0,2^{\frac{3}{4}}$;

3) $\log_{3,1}\sqrt{10}$ и $\log_{3,1}3$;

4) $\log_{0,3}\frac{4}{5}$ и $\log_{0,3}\frac{3}{4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Сравнить числа $2,5^{\frac{1}{7}}$ и $2,5^{0,5}$.

Для сравнения этих чисел рассмотрим показательную функцию $y = 2,5^x$. Основание степени $a = 2,5$. Так как основание $a = 2,5 > 1$, данная функция является возрастающей. Это означает, что чем больше показатель степени, тем больше значение функции. Теперь сравним показатели степеней: $\frac{1}{7}$ и $0,5$. Представим $0,5$ в виде обыкновенной дроби: $0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. Сравним дроби $\frac{1}{7}$ и $\frac{1}{2}$. Поскольку у дробей одинаковые числители, больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Так как $7 > 2$, то $\frac{1}{7} < \frac{1}{2}$. Значит, показатель $\frac{1}{7}$ меньше показателя $0,5$. Поскольку функция $y = 2,5^x$ возрастающая, из неравенства $\frac{1}{7} < 0,5$ следует, что $2,5^{\frac{1}{7}} < 2,5^{0,5}$.
Ответ: $2,5^{\frac{1}{7}} < 2,5^{0,5}$.

2) Сравнить числа $0,2^{\frac{2}{3}}$ и $0,2^{\frac{3}{4}}$.

Рассмотрим показательную функцию $y = 0,2^x$. Основание степени $a = 0,2$. Так как основание $0 < a = 0,2 < 1$, данная функция является убывающей. Это означает, что чем больше показатель степени, тем меньше значение функции. Сравним показатели степеней: $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$. Для сравнения приведем дроби к общему знаменателю, равному $12$: $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$; $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$. Поскольку $8 < 9$, то $\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$, а значит $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$. Поскольку функция $y = 0,2^x$ убывающая, из неравенства $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$ следует, что $0,2^{\frac{2}{3}} > 0,2^{\frac{3}{4}}$.
Ответ: $0,2^{\frac{2}{3}} > 0,2^{\frac{3}{4}}$.

3) Сравнить числа $\log_{3,1}\sqrt{10}$ и $\log_{3,1}3$.

Рассмотрим логарифмическую функцию $y = \log_{3,1}x$. Основание логарифма $a = 3,1$. Так как основание $a = 3,1 > 1$, данная функция является возрастающей. Это означает, что чем больше значение аргумента, тем больше значение функции. Сравним аргументы логарифмов: $\sqrt{10}$ и $3$. Поскольку оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты: $(\sqrt{10})^2 = 10$; $3^2 = 9$. Так как $10 > 9$, то $\sqrt{10} > 3$. Поскольку функция $y = \log_{3,1}x$ возрастающая, из неравенства $\sqrt{10} > 3$ следует, что $\log_{3,1}\sqrt{10} > \log_{3,1}3$.
Ответ: $\log_{3,1}\sqrt{10} > \log_{3,1}3$.

4) Сравнить числа $\log_{0,3}\frac{4}{5}$ и $\log_{0,3}\frac{3}{4}$.

Рассмотрим логарифмическую функцию $y = \log_{0,3}x$. Основание логарифма $a = 0,3$. Так как основание $0 < a = 0,3 < 1$, данная функция является убывающей. Это означает, что чем больше значение аргумента, тем меньше значение функции. Сравним аргументы логарифмов: $\frac{4}{5}$ и $\frac{3}{4}$. Для сравнения представим дроби в виде десятичных чисел: $\frac{4}{5} = 0,8$; $\frac{3}{4} = 0,75$. Поскольку $0,8 > 0,75$, то $\frac{4}{5} > \frac{3}{4}$. Поскольку функция $y = \log_{0,3}x$ убывающая, из неравенства $\frac{4}{5} > \frac{3}{4}$ следует, что $\log_{0,3}\frac{4}{5} < \log_{0,3}\frac{3}{4}$.
Ответ: $\log_{0,3}\frac{4}{5} < \log_{0,3}\frac{3}{4}$.