Номер 711, страница 318 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 711, страница 318.

Условие.

711.1) $(2^{\frac{1}{2\sqrt{2}}})^{\sqrt{8}}$

2) $(2^{\sqrt{27}})^{\sqrt{3}} \cdot 2^{-3}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы упростить выражение $(\frac{1}{2\sqrt{2}})^{\sqrt{8}}$, представим его компоненты в виде степеней.

Сначала преобразуем основание степени $\frac{1}{2\sqrt{2}}$.

Знаменатель $2\sqrt{2}$ можно записать как произведение степеней числа 2: $2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$.

Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем: $2^{1+\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$.

Тогда основание степени равно: $\frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}$.

Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем: $2^{-\frac{3}{2}}$.

Теперь преобразуем показатель степени $\sqrt{8}$.

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Теперь подставим преобразованные значения обратно в исходное выражение:

$(\frac{1}{2\sqrt{2}})^{\sqrt{8}} = (2^{-\frac{3}{2}})^{2\sqrt{2}}$.

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(2^{-\frac{3}{2}})^{2\sqrt{2}} = 2^{(-\frac{3}{2}) \cdot (2\sqrt{2})} = 2^{-3\sqrt{2}}$.

Ответ: $2^{-3\sqrt{2}}$.

2) Чтобы упростить выражение $(2^{\sqrt{27}})^{\sqrt{3}} \cdot 2^{-3}$, будем действовать по шагам.

Сначала рассмотрим первый множитель $(2^{\sqrt{27}})^{\sqrt{3}}$.

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(2^{\sqrt{27}})^{\sqrt{3}} = 2^{\sqrt{27} \cdot \sqrt{3}}$.

Упростим показатель степени, используя свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$\sqrt{27} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{27 \cdot 3} = \sqrt{81} = 9$.

Таким образом, первый множитель равен $2^9$.

Теперь исходное выражение принимает вид:

$2^9 \cdot 2^{-3}$.

Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^9 \cdot 2^{-3} = 2^{9+(-3)} = 2^{9-3} = 2^6$.

Осталось вычислить значение:

$2^6 = 64$.

Ответ: $64$.