Номер 718, страница 319 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 718, страница 319.
№718 (с. 319)
Условие. №718 (с. 319)
скриншот условия

718. Сравнить без таблиц и калькулятора числа $\log_3 4$ и $\sqrt[4]{2}$.
Решение 1. №718 (с. 319)

Решение 2. №718 (с. 319)

Решение 3. №718 (с. 319)
Для того чтобы сравнить числа $log_3{4}$ и $ \sqrt[4]{2} $, воспользуемся методом сравнения с подходящим промежуточным числом. В качестве такого числа удобно взять $ \frac{5}{4} $.
Сравнение $log_3{4}$ с числом $ \frac{5}{4} $
Чтобы сравнить $log_3{4}$ и $ \frac{5}{4} $, мы можем сравнить числа $4$ и $3^{\frac{5}{4}}$. Это возможно, поскольку логарифмическая функция с основанием $3 > 1$ является строго возрастающей, то есть для положительных $a$ и $b$ из $a > b$ следует $log_3{a} > log_3{b}$.
Для сравнения чисел $4$ и $3^{\frac{5}{4}}$ возведем оба в четвертую степень. Так как оба числа положительные, а функция $y=x^4$ для $x>0$ возрастает, знак неравенства сохранится.
$4^4 = 256$
$(3^{\frac{5}{4}})^4 = 3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$
Поскольку $256 > 243$, мы можем заключить, что $4^4 > (3^{\frac{5}{4}})^4$, и, следовательно, $4 > 3^{\frac{5}{4}}$.
Так как логарифмическая функция с основанием 3 возрастает, из неравенства $4 > 3^{\frac{5}{4}}$ следует, что $log_3{4} > log_3{(3^{\frac{5}{4}})}$.
Учитывая, что $log_3{(3^{\frac{5}{4}})} = \frac{5}{4}$, мы получаем первое неравенство: $log_3{4} > \frac{5}{4}$.
Сравнение $ \sqrt[4]{2} $ с числом $ \frac{5}{4} $
Теперь сравним второе число, $ \sqrt[4]{2} $, с тем же промежуточным числом $ \frac{5}{4} $. Снова возведем оба положительных числа в четвертую степень.
$(\sqrt[4]{2})^4 = 2$
$(\frac{5}{4})^4 = \frac{5^4}{4^4} = \frac{625}{256}$
Теперь необходимо сравнить $2$ и $\frac{625}{256}$. Представим число $2$ в виде дроби со знаменателем $256$:
$2 = \frac{2 \cdot 256}{256} = \frac{512}{256}$
Так как $512 < 625$, то и $\frac{512}{256} < \frac{625}{256}$. Это означает, что $2 < (\frac{5}{4})^4$.
Отсюда следует, что $(\sqrt[4]{2})^4 < (\frac{5}{4})^4$, а значит $ \sqrt[4]{2} < \frac{5}{4} $.
Вывод
Мы установили два факта:
1. $log_3{4} > \frac{5}{4}$
2. $ \sqrt[4]{2} < \frac{5}{4} $
Объединяя эти два неравенства, получаем $log_3{4} > \frac{5}{4} > \sqrt[4]{2}$, из чего напрямую следует, что $log_3{4} > \sqrt[4]{2}$.
Ответ: $log_3{4} > \sqrt[4]{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 718 расположенного на странице 319 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №718 (с. 319), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.