Номер 718, страница 319 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 718, страница 319.

Условие.

718. Сравнить без таблиц и калькулятора числа $\log_3 4$ и $\sqrt[4]{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы сравнить числа $log_3{4}$ и $ \sqrt[4]{2} $, воспользуемся методом сравнения с подходящим промежуточным числом. В качестве такого числа удобно взять $ \frac{5}{4} $.

Сравнение $log_3{4}$ с числом $ \frac{5}{4} $

Чтобы сравнить $log_3{4}$ и $ \frac{5}{4} $, мы можем сравнить числа $4$ и $3^{\frac{5}{4}}$. Это возможно, поскольку логарифмическая функция с основанием $3 > 1$ является строго возрастающей, то есть для положительных $a$ и $b$ из $a > b$ следует $log_3{a} > log_3{b}$.

Для сравнения чисел $4$ и $3^{\frac{5}{4}}$ возведем оба в четвертую степень. Так как оба числа положительные, а функция $y=x^4$ для $x>0$ возрастает, знак неравенства сохранится.

$4^4 = 256$

$(3^{\frac{5}{4}})^4 = 3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$

Поскольку $256 > 243$, мы можем заключить, что $4^4 > (3^{\frac{5}{4}})^4$, и, следовательно, $4 > 3^{\frac{5}{4}}$.

Так как логарифмическая функция с основанием 3 возрастает, из неравенства $4 > 3^{\frac{5}{4}}$ следует, что $log_3{4} > log_3{(3^{\frac{5}{4}})}$.

Учитывая, что $log_3{(3^{\frac{5}{4}})} = \frac{5}{4}$, мы получаем первое неравенство: $log_3{4} > \frac{5}{4}$.

Сравнение $ \sqrt[4]{2} $ с числом $ \frac{5}{4} $

Теперь сравним второе число, $ \sqrt[4]{2} $, с тем же промежуточным числом $ \frac{5}{4} $. Снова возведем оба положительных числа в четвертую степень.

$(\sqrt[4]{2})^4 = 2$

$(\frac{5}{4})^4 = \frac{5^4}{4^4} = \frac{625}{256}$

Теперь необходимо сравнить $2$ и $\frac{625}{256}$. Представим число $2$ в виде дроби со знаменателем $256$:

$2 = \frac{2 \cdot 256}{256} = \frac{512}{256}$

Так как $512 < 625$, то и $\frac{512}{256} < \frac{625}{256}$. Это означает, что $2 < (\frac{5}{4})^4$.

Отсюда следует, что $(\sqrt[4]{2})^4 < (\frac{5}{4})^4$, а значит $ \sqrt[4]{2} < \frac{5}{4} $.

Вывод

Мы установили два факта:

1. $log_3{4} > \frac{5}{4}$

2. $ \sqrt[4]{2} < \frac{5}{4} $

Объединяя эти два неравенства, получаем $log_3{4} > \frac{5}{4} > \sqrt[4]{2}$, из чего напрямую следует, что $log_3{4} > \sqrt[4]{2}$.

Ответ: $log_3{4} > \sqrt[4]{2}$.