Номер 723, страница 319 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 723, страница 319.

Условие.

723. Освободиться от иррациональности в числителе дроби:

1) $\frac{\sqrt{5}}{10}$;

2) $\frac{3\sqrt{6}}{6}$;

3) $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в числителе дроби $\frac{\sqrt{5}}{10}$, необходимо умножить ее числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$.

$\frac{\sqrt{5}}{10} = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}{10 \cdot \sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{5})^2}{10\sqrt{5}} = \frac{5}{10\sqrt{5}}$

Теперь сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$\frac{5}{10\sqrt{5}} = \frac{1}{2\sqrt{5}}$

Ответ: $\frac{1}{2\sqrt{5}}$

2) Для дроби $\frac{3\sqrt{6}}{6}$ сначала можно упростить выражение, сократив дробь на 3:

$\frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Теперь, чтобы избавиться от иррациональности в числителе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:

$\frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}}{2 \cdot \sqrt{6}} = \frac{6}{2\sqrt{6}}$

Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{6}{2\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}}$

Ответ: $\frac{3}{\sqrt{6}}$

3) Числитель дроби $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$ представляет собой разность. Чтобы сделать его рациональным, нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное к нему выражение, то есть на $\sqrt{7}+\sqrt{5}$. При этом используется формула разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2} = \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{2(\sqrt{7}+\sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2}{2(\sqrt{7}+\sqrt{5})} = \frac{7-5}{2(\sqrt{7}+\sqrt{5})} = \frac{2}{2(\sqrt{7}+\sqrt{5})}$

Сократив дробь на 2, получим окончательный результат:

$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$