Номер 727, страница 320 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 727, страница 320.
№727 (с. 320)
Условие. №727 (с. 320)
скриншот условия

727. Доказать, что если $a$ и $b$ — натуральные числа и $\sqrt{ab}$ — рациональное число, то $\sqrt{\frac{a}{b}}$ также рациональное число, а если $\sqrt{ab}$ — иррациональное число, то и $\sqrt{\frac{a}{b}}$ — иррациональное число.
Решение 1. №727 (с. 320)

Решение 2. №727 (с. 320)

Решение 3. №727 (с. 320)
Задача содержит два связанных утверждения, которые необходимо доказать. Мы докажем их последовательно.
Если $a$ и $b$ — натуральные числа и $\sqrt{ab}$ — рациональное число, то $\sqrt{\frac{a}{b}}$ также рациональное число
По условию дано, что $a$ и $b$ — натуральные числа ($a, b \in \mathbb{N}$), и число $\sqrt{ab}$ является рациональным. Требуется доказать, что число $\sqrt{\frac{a}{b}}$ также является рациональным.
Рассмотрим выражение $\sqrt{\frac{a}{b}}$ и преобразуем его, умножив числитель и знаменатель подкоренного выражения на $b$: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{a \cdot b}{b \cdot b}} = \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b^2}}$.
Так как $b$ — натуральное число, то $\sqrt{b^2} = b$. В результате преобразований мы получаем следующее тождество:
$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{ab}}{b}$
Теперь рассмотрим правую часть этого равенства. По условию, числитель $\sqrt{ab}$ является рациональным числом. Знаменатель $b$ является натуральным числом, а следовательно, ненулевым рациональным числом. Частное от деления рационального числа на ненулевое рациональное число всегда является рациональным числом. Таким образом, выражение $\frac{\sqrt{ab}}{b}$ является рациональным числом, а значит и равное ему выражение $\sqrt{\frac{a}{b}}$ тоже рационально.
Ответ: утверждение доказано.
Если $a$ и $b$ — натуральные числа и $\sqrt{ab}$ — иррациональное число, то и $\sqrt{\frac{a}{b}}$ — иррациональное число
По условию дано, что $a$ и $b$ — натуральные числа ($a, b \in \mathbb{N}$), и число $\sqrt{ab}$ является иррациональным. Требуется доказать, что число $\sqrt{\frac{a}{b}}$ также является иррациональным.
Для доказательства воспользуемся методом от противного. Предположим, что $\sqrt{\frac{a}{b}}$ является рациональным числом. Обозначим это число через $q$, то есть $\sqrt{\frac{a}{b}} = q$, где $q \in \mathbb{Q}$.
Из тождества, которое мы вывели в первой части, $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{ab}}{b}$, можно выразить $\sqrt{ab}$:
$\sqrt{ab} = \sqrt{\frac{a}{b}} \cdot b$
Подставив в это равенство наше предположение $\sqrt{\frac{a}{b}} = q$, получим:
$\sqrt{ab} = q \cdot b$
Рассмотрим правую часть полученного равенства. По нашему предположению, $q$ — рациональное число. По условию задачи, $b$ — натуральное (и, следовательно, рациональное) число. Произведение двух рациональных чисел ($q$ и $b$) всегда является рациональным числом. Следовательно, $\sqrt{ab}$ должно быть рациональным числом.
Это утверждение вступает в прямое противоречие с условием задачи, согласно которому $\sqrt{ab}$ — иррациональное число. Данное противоречие означает, что наше исходное предположение было неверным. Следовательно, число $\sqrt{\frac{a}{b}}$ должно быть иррациональным.
Ответ: утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 727 расположенного на странице 320 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №727 (с. 320), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.