Номер 727, страница 320 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 727, страница 320.

Условие.

727. Доказать, что если $a$ и $b$ — натуральные числа и $\sqrt{ab}$ — рациональное число, то $\sqrt{\frac{a}{b}}$ также рациональное число, а если $\sqrt{ab}$ — иррациональное число, то и $\sqrt{\frac{a}{b}}$ — иррациональное число.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Задача содержит два связанных утверждения, которые необходимо доказать. Мы докажем их последовательно.

Если $a$ и $b$ — натуральные числа и $\sqrt{ab}$ — рациональное число, то $\sqrt{\frac{a}{b}}$ также рациональное число

По условию дано, что $a$ и $b$ — натуральные числа ($a, b \in \mathbb{N}$), и число $\sqrt{ab}$ является рациональным. Требуется доказать, что число $\sqrt{\frac{a}{b}}$ также является рациональным.

Рассмотрим выражение $\sqrt{\frac{a}{b}}$ и преобразуем его, умножив числитель и знаменатель подкоренного выражения на $b$: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{a \cdot b}{b \cdot b}} = \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b^2}}$.

Так как $b$ — натуральное число, то $\sqrt{b^2} = b$. В результате преобразований мы получаем следующее тождество:

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{ab}}{b}$

Теперь рассмотрим правую часть этого равенства. По условию, числитель $\sqrt{ab}$ является рациональным числом. Знаменатель $b$ является натуральным числом, а следовательно, ненулевым рациональным числом. Частное от деления рационального числа на ненулевое рациональное число всегда является рациональным числом. Таким образом, выражение $\frac{\sqrt{ab}}{b}$ является рациональным числом, а значит и равное ему выражение $\sqrt{\frac{a}{b}}$ тоже рационально.

Ответ: утверждение доказано.

Если $a$ и $b$ — натуральные числа и $\sqrt{ab}$ — иррациональное число, то и $\sqrt{\frac{a}{b}}$ — иррациональное число

По условию дано, что $a$ и $b$ — натуральные числа ($a, b \in \mathbb{N}$), и число $\sqrt{ab}$ является иррациональным. Требуется доказать, что число $\sqrt{\frac{a}{b}}$ также является иррациональным.

Для доказательства воспользуемся методом от противного. Предположим, что $\sqrt{\frac{a}{b}}$ является рациональным числом. Обозначим это число через $q$, то есть $\sqrt{\frac{a}{b}} = q$, где $q \in \mathbb{Q}$.

Из тождества, которое мы вывели в первой части, $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{ab}}{b}$, можно выразить $\sqrt{ab}$:

$\sqrt{ab} = \sqrt{\frac{a}{b}} \cdot b$

Подставив в это равенство наше предположение $\sqrt{\frac{a}{b}} = q$, получим:

$\sqrt{ab} = q \cdot b$

Рассмотрим правую часть полученного равенства. По нашему предположению, $q$ — рациональное число. По условию задачи, $b$ — натуральное (и, следовательно, рациональное) число. Произведение двух рациональных чисел ($q$ и $b$) всегда является рациональным числом. Следовательно, $\sqrt{ab}$ должно быть рациональным числом.

Это утверждение вступает в прямое противоречие с условием задачи, согласно которому $\sqrt{ab}$ — иррациональное число. Данное противоречие означает, что наше исходное предположение было неверным. Следовательно, число $\sqrt{\frac{a}{b}}$ должно быть иррациональным.

Ответ: утверждение доказано.