Номер 724, страница 319 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 724, страница 319.

Условие.

724. Записать в виде обыкновенной дроби число:

1) $0.\overline{4}$; 2) $2.\overline{7}$; 3) $0.\overline{21}$;

4) $1.\overline{36}$; 5) $0.3\overline{5}$; 6) $0.21\overline{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) 0,(4)

Пусть искомое число $x = 0,(4)$, что равносильно $x = 0.444...$

Умножим это уравнение на 10, чтобы сдвинуть запятую на одну позицию вправо (так как период состоит из одной цифры):

$10x = 4.444...$

Теперь вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от бесконечной дробной части:

$10x - x = 4.444... - 0.444...$

$9x = 4$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{4}{9}$

Ответ: $\frac{4}{9}$

2) 2,(7)

Представим число как сумму целой и дробной частей: $2,(7) = 2 + 0,(7)$.

Сначала преобразуем периодическую дробь $0,(7)$ в обыкновенную. Пусть $y = 0,(7) = 0.777...$

Умножим на 10: $10y = 7.777...$

Вычтем исходное уравнение: $10y - y = 7.777... - 0.777...$, что дает $9y = 7$.

Следовательно, $y = \frac{7}{9}$.

Теперь вернемся к исходному числу:

$2,(7) = 2 + \frac{7}{9} = 2\frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{18 + 7}{9} = \frac{25}{9}$

Ответ: $\frac{25}{9}$

3) 0,(21)

Пусть $x = 0,(21) = 0.212121...$

Так как период состоит из двух цифр, умножим уравнение на 100:

$100x = 21.212121...$

Вычтем из нового уравнения исходное:

$100x - x = 21.212121... - 0.212121...$

$99x = 21$

$x = \frac{21}{99}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$x = \frac{21 \div 3}{99 \div 3} = \frac{7}{33}$

Ответ: $\frac{7}{33}$

4) 1,(36)

Пусть $x = 1,(36) = 1.363636...$

Период состоит из двух цифр, поэтому умножим на 100:

$100x = 136.363636...$

Вычтем исходное уравнение:

$100x - x = 136.363636... - 1.363636...$

$99x = 135$

$x = \frac{135}{99}$

Сократим дробь на 9:

$x = \frac{135 \div 9}{99 \div 9} = \frac{15}{11}$

Ответ: $\frac{15}{11}$

5) 0,3(5)

Это смешанная периодическая дробь. Пусть $x = 0.3(5) = 0.3555...$

Умножим на 10, чтобы "освободить" непериодическую часть:

$10x = 3.555...$

Теперь умножим еще на 10, чтобы сдвинуть период:

$100x = 35.555...$

Вычтем второе уравнение из третьего:

$100x - 10x = 35.555... - 3.555...$

$90x = 32$

$x = \frac{32}{90}$

Сократим дробь на 2:

$x = \frac{16}{45}$

Ответ: $\frac{16}{45}$

6) 0,21(3)

Это смешанная периодическая дробь. Пусть $x = 0.21(3) = 0.21333...$

Умножим на 100, так как до периода стоят две цифры:

$100x = 21.333...$

Умножим еще на 10, так как период состоит из одной цифры:

$1000x = 213.333...$

Вычтем второе уравнение из третьего:

$1000x - 100x = 213.333... - 21.333...$

$900x = 192$

$x = \frac{192}{900}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 192 и 900 равен 12.

$x = \frac{192 \div 12}{900 \div 12} = \frac{16}{75}$

Ответ: $\frac{16}{75}$