Номер 729, страница 320 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 729, страница 320.

Условие.

729. Имеют ли общие точки промежутки:

1) $[1; 3\sqrt{2} + 2\sqrt{7}]$ и $[3\sqrt{3} + 4; 15];$

2) $(0; \sqrt{27} + \sqrt{6})$ и $(\sqrt{48} - 1; 10);$

3) $[2; 2\sqrt{5} + 2\sqrt{6}]$ и $(3\sqrt{2} + \sqrt{22}; 11);$

4) $[1; 1 + \sqrt{3}]$ и $(\frac{2}{\sqrt{3} - 1}; 4)?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы определить, имеют ли общие точки промежутки $[1; 3\sqrt{2} + 2\sqrt{7}]$ и $[3\sqrt{3} + 4; 15]$, необходимо сравнить концы этих отрезков. Два отрезка $[a, b]$ и $[c, d]$ имеют общие точки тогда и только тогда, когда $a \le d$ и $c \le b$.

В данном случае $a = 1$, $b = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{7}$, $c = 3\sqrt{3} + 4$ и $d = 15$.

Первое условие $a \le d$ выполняется: $1 \le 15$.

Проверим второе условие $c \le b$, то есть сравним $3\sqrt{3} + 4$ и $3\sqrt{2} + 2\sqrt{7}$. Оба числа положительны, поэтому можно сравнивать их квадраты:

$(3\sqrt{3} + 4)^2 = (3\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 4 + 4^2 = 27 + 24\sqrt{3} + 16 = 43 + 24\sqrt{3}$.

$(3\sqrt{2} + 2\sqrt{7})^2 = (3\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{7} + (2\sqrt{7})^2 = 18 + 12\sqrt{14} + 28 = 46 + 12\sqrt{14}$.

Теперь сравним $43 + 24\sqrt{3}$ и $46 + 12\sqrt{14}$. Это эквивалентно сравнению $24\sqrt{3}$ и $3 + 12\sqrt{14}$. Разделим обе части на 3: $8\sqrt{3}$ и $1 + 4\sqrt{14}$. Снова возведем в квадрат обе положительные части:

$(8\sqrt{3})^2 = 64 \cdot 3 = 192$.

$(1 + 4\sqrt{14})^2 = 1^2 + 2 \cdot 4\sqrt{14} + (4\sqrt{14})^2 = 1 + 8\sqrt{14} + 16 \cdot 14 = 1 + 8\sqrt{14} + 224 = 225 + 8\sqrt{14}$.

Так как $192 < 225 + 8\sqrt{14}$, то $8\sqrt{3} < 1 + 4\sqrt{14}$.

Из этого следует, что $43 + 24\sqrt{3} < 46 + 12\sqrt{14}$, и, следовательно, $3\sqrt{3} + 4 < 3\sqrt{2} + 2\sqrt{7}$.

Условие $c \le b$ выполняется. Так как оба условия ($a \le d$ и $c \le b$) выполнены, промежутки имеют общие точки.

Ответ: Да, имеют.

2) Рассмотрим промежутки $(0; \sqrt{27} + \sqrt{6})$ и $(\sqrt{48} - 1; 10)$.

Сначала упростим выражения с корнями: $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ и $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.

Таким образом, промежутки имеют вид $(0; 3\sqrt{3} + \sqrt{6})$ и $(4\sqrt{3} - 1; 10)$.

Два интервала $(a, b)$ и $(c, d)$ имеют общие точки, если $a < d$ и $c < b$.

В нашем случае $a = 0$, $b = 3\sqrt{3} + \sqrt{6}$, $c = 4\sqrt{3} - 1$ и $d = 10$.

Первое условие $a < d$ выполняется: $0 < 10$.

Проверим второе условие $c < b$: $4\sqrt{3} - 1 < 3\sqrt{3} + \sqrt{6}$.

Перенесем члены: $4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} < 1 + \sqrt{6}$, что дает $\sqrt{3} < 1 + \sqrt{6}$.

Обе части неравенства положительны. Возведем их в квадрат: $(\sqrt{3})^2 < (1 + \sqrt{6})^2$.

$3 < 1 + 2\sqrt{6} + 6$, то есть $3 < 7 + 2\sqrt{6}$.

Это неравенство верно, так как $7 > 3$. Следовательно, $c < b$.

Оба условия выполнены, значит, промежутки имеют общие точки.

Ответ: Да, имеют.

3) Рассмотрим промежутки $[2; 2\sqrt{5} + 2\sqrt{6}]$ и $(3\sqrt{2} + \sqrt{22}; 11)$.

Пусть $a_1 = 2$, $b_1 = 2\sqrt{5} + 2\sqrt{6}$, $a_2 = 3\sqrt{2} + \sqrt{22}$ и $b_2 = 11$.

Промежутки $[a_1, b_1]$ и $(a_2, b_2)$ пересекаются, если $a_1 < b_2$ и $a_2 < b_1$.

Первое условие $a_1 < b_2$ выполняется: $2 < 11$.

Проверим второе условие $a_2 < b_1$: $3\sqrt{2} + \sqrt{22} < 2\sqrt{5} + 2\sqrt{6}$.

Запишем выражения в виде $\sqrt{18} + \sqrt{22} < \sqrt{20} + \sqrt{24}$.

Сравним квадраты обеих частей (они положительны):

$(\sqrt{18} + \sqrt{22})^2 = 18 + 2\sqrt{18 \cdot 22} + 22 = 40 + 2\sqrt{396}$.

$(\sqrt{20} + \sqrt{24})^2 = 20 + 2\sqrt{20 \cdot 24} + 24 = 44 + 2\sqrt{480}$.

Так как $40 < 44$ и $\sqrt{396} < \sqrt{480}$, то $40 + 2\sqrt{396} < 44 + 2\sqrt{480}$.

Следовательно, $3\sqrt{2} + \sqrt{22} < 2\sqrt{5} + 2\sqrt{6}$. Условие $a_2 < b_1$ выполняется.

Оба условия выполнены, значит, промежутки имеют общие точки.

Ответ: Да, имеют.

4) Рассмотрим промежутки $[1; 1+\sqrt{3}]$ и $(\frac{2}{\sqrt{3}-1}; 4)$.

Упростим левую границу второго промежутка, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{3}+1$:

$\frac{2}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = 1+\sqrt{3}$.

Таким образом, второй промежуток — это $(1+\sqrt{3}; 4)$.

Теперь нужно выяснить, имеют ли общие точки промежутки $[1; 1+\sqrt{3}]$ и $(1+\sqrt{3}; 4)$.

Первый промежуток — это отрезок, содержащий все числа $x$, для которых $1 \le x \le 1+\sqrt{3}$. Он включает правую границу $1+\sqrt{3}$.

Второй промежуток — это интервал, содержащий все числа $y$, для которых $1+\sqrt{3} < y < 4$. Он не включает левую границу $1+\sqrt{3}$.

Для того чтобы точка была общей, она должна удовлетворять обоим условиям: $x \le 1+\sqrt{3}$ и $x > 1+\sqrt{3}$. Не существует числа, удовлетворяющего этому двойному неравенству. Следовательно, пересечение этих промежутков пусто.

Ответ: Нет, не имеют.