Номер 722, страница 319 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 722, страница 319.

Условие.

722. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$;2) $\frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$;3) $\frac{12}{\sqrt{10}-\sqrt{7}}$;4) $\frac{8}{\sqrt{11}+\sqrt{3}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{5}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(\sqrt{3} + \sqrt{2})$. При умножении в знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

$\frac{5}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{5 \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{5(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{5(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{3 - 2} = \frac{5(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{1} = 5(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.

Ответ: $5(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.

2) Для дроби $\frac{3}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}$ сопряженным выражением к знаменателю является $(\sqrt{6} - \sqrt{5})$. Умножим числитель и знаменатель на это выражение.

$\frac{3}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} = \frac{3 \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{5})}{(\sqrt{6} + \sqrt{5}) \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{5})} = \frac{3(\sqrt{6} - \sqrt{5})}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{3(\sqrt{6} - \sqrt{5})}{6 - 5} = \frac{3(\sqrt{6} - \sqrt{5})}{1} = 3(\sqrt{6} - \sqrt{5})$.

Ответ: $3(\sqrt{6} - \sqrt{5})$.

3) Для дроби $\frac{12}{\sqrt{10} - \sqrt{7}}$ сопряженным выражением к знаменателю является $(\sqrt{10} + \sqrt{7})$. Умножим числитель и знаменатель на это выражение.

$\frac{12}{\sqrt{10} - \sqrt{7}} = \frac{12 \cdot (\sqrt{10} + \sqrt{7})}{(\sqrt{10} - \sqrt{7}) \cdot (\sqrt{10} + \sqrt{7})} = \frac{12(\sqrt{10} + \sqrt{7})}{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{12(\sqrt{10} + \sqrt{7})}{10 - 7} = \frac{12(\sqrt{10} + \sqrt{7})}{3}$.

Теперь можно сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{12(\sqrt{10} + \sqrt{7})}{3} = 4(\sqrt{10} + \sqrt{7})$.

Ответ: $4(\sqrt{10} + \sqrt{7})$.

4) Для дроби $\frac{8}{\sqrt{11} + \sqrt{3}}$ сопряженным выражением к знаменателю является $(\sqrt{11} - \sqrt{3})$. Умножим числитель и знаменатель на это выражение.

$\frac{8}{\sqrt{11} + \sqrt{3}} = \frac{8 \cdot (\sqrt{11} - \sqrt{3})}{(\sqrt{11} + \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{11} - \sqrt{3})} = \frac{8(\sqrt{11} - \sqrt{3})}{(\sqrt{11})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{8(\sqrt{11} - \sqrt{3})}{11 - 3} = \frac{8(\sqrt{11} - \sqrt{3})}{8}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 8:

$\frac{8(\sqrt{11} - \sqrt{3})}{8} = \sqrt{11} - \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{11} - \sqrt{3}$.