Номер 720, страница 319 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 720, страница 319.

Условие.

Упростить (720-721).

720. 1) $3\sqrt{\frac{5}{9}} - \frac{1}{2}\sqrt{20} + 3\sqrt{180} - 4\sqrt{\frac{125}{4}};$

2) $\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} - \frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} - \frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Для упрощения выражения $3\sqrt{\frac{5}{9}} - \frac{1}{2}\sqrt{20} + 3\sqrt{180} - 4\sqrt{\frac{125}{4}}$ мы упростим каждый член по отдельности.

Первый член: $3\sqrt{\frac{5}{9}}$. Используем свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$3\sqrt{\frac{5}{9}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \sqrt{5}$.

Второй член: $-\frac{1}{2}\sqrt{20}$. Упростим корень, вынеся множитель из-под знака корня. $20 = 4 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$.

$-\frac{1}{2}\sqrt{20} = -\frac{1}{2}\sqrt{4 \cdot 5} = -\frac{1}{2} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = -\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} = -\sqrt{5}$.

Третий член: $3\sqrt{180}$. Упростим корень. $180 = 36 \cdot 5 = 6^2 \cdot 5$.

$3\sqrt{180} = 3\sqrt{36 \cdot 5} = 3 \cdot \sqrt{36} \cdot \sqrt{5} = 3 \cdot 6\sqrt{5} = 18\sqrt{5}$.

Четвертый член: $-4\sqrt{\frac{125}{4}}$. Снова используем свойство корня из дроби и упрощаем корень из числителя. $125 = 25 \cdot 5 = 5^2 \cdot 5$.

$-4\sqrt{\frac{125}{4}} = -4 \cdot \frac{\sqrt{125}}{\sqrt{4}} = -4 \cdot \frac{\sqrt{25 \cdot 5}}{2} = -2\sqrt{25 \cdot 5} = -2 \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = -2 \cdot 5\sqrt{5} = -10\sqrt{5}$.

Теперь сложим все упрощенные члены:

$\sqrt{5} - \sqrt{5} + 18\sqrt{5} - 10\sqrt{5}$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(1 - 1 + 18 - 10)\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$.

Ответ: $8\sqrt{5}$.

2)

Для упрощения выражения $\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} - \frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} - \frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$ мы избавимся от иррациональности в знаменателе каждой дроби. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на сопряженное к знаменателю выражение.

Первый член: $\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}$. Сопряженное выражение для знаменателя — $\sqrt{6}+\sqrt{5}$.

$\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{6}+\sqrt{5})}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{6-5} = \sqrt{6}+\sqrt{5}$.

Второй член: $-\frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$. Сопряженное выражение для знаменателя — $\sqrt{5}-\sqrt{2}$.

$-\frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = -\frac{3 \cdot (\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})} = -\frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = -\frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{5-2} = -\frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3} = -(\sqrt{5}-\sqrt{2}) = -\sqrt{5}+\sqrt{2}$.

Третий член: $-\frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$. Сопряженное выражение для знаменателя — $\sqrt{6}+\sqrt{2}$.

$-\frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = -\frac{4 \cdot (\sqrt{6}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})} = -\frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} = -\frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{6-2} = -\frac{4(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4} = -(\sqrt{6}+\sqrt{2}) = -\sqrt{6}-\sqrt{2}$.

Теперь сложим все полученные выражения:

$(\sqrt{6}+\sqrt{5}) + (-\sqrt{5}+\sqrt{2}) + (-\sqrt{6}-\sqrt{2}) = \sqrt{6}+\sqrt{5}-\sqrt{5}+\sqrt{2}-\sqrt{6}-\sqrt{2}$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(\sqrt{6}-\sqrt{6}) + (\sqrt{5}-\sqrt{5}) + (\sqrt{2}-\sqrt{2}) = 0+0+0=0$.

Ответ: $0$.