Номер 704, страница 318 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 704, страница 318.

Условие.

704. Найти две последние цифры числа:

1) $2^{999}$;

2) $3^{999}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы найти две последние цифры числа, необходимо найти остаток от деления этого числа на 100. Это эквивалентно вычислению значения числа по модулю 100.

1) $2^{999}$

Нам нужно вычислить $2^{999} \pmod{100}$.

Поскольку число 2 не является взаимно простым с 100, мы не можем применить теорему Эйлера напрямую для модуля 100. Воспользуемся Китайской теоремой об остатках, представив модуль в виде произведения взаимно простых сомножителей: $100 = 4 \times 25$. Мы найдем остатки от деления $2^{999}$ на 4 и 25 по отдельности.

Шаг 1: Вычисление $2^{999} \pmod{4}$.

Поскольку показатель степени $999$ больше или равен 2, число $2^{999}$ делится на $2^2=4$ без остатка. Следовательно, $2^{999} \equiv 0 \pmod{4}$.

Шаг 2: Вычисление $2^{999} \pmod{25}$.

Числа 2 и 25 взаимно просты, поэтому мы можем применить теорему Эйлера. Значение функции Эйлера для $n=25$ равно $\phi(25) = \phi(5^2) = 5^2 - 5^1 = 20$. Согласно теореме Эйлера, $a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$, поэтому $2^{20} \equiv 1 \pmod{25}$.

Уменьшим показатель степени 999 по модулю 20: $999 = 20 \times 49 + 19$. Следовательно, $2^{999} = 2^{20 \times 49 + 19} = (2^{20})^{49} \times 2^{19} \equiv 1^{49} \times 2^{19} \equiv 2^{19} \pmod{25}$.

Теперь вычислим $2^{19} \pmod{25}$. $2^{10} = 1024$. Так как $1024 = 25 \times 40 + 24$, то $2^{10} \equiv 24 \equiv -1 \pmod{25}$. Тогда $2^{19} = 2^{10} \times 2^9 \equiv -1 \times 2^9 \pmod{25}$. Вычислим $2^9$: $2^9 = 512$. $512 = 25 \times 20 + 12$, поэтому $2^9 \equiv 12 \pmod{25}$. Окончательно для $2^{19}$: $2^{19} \equiv -1 \times 12 = -12 \equiv 13 \pmod{25}$.

Шаг 3: Решение системы сравнений.

Мы получили систему сравнений для $x = 2^{999}$: $$ \begin{cases} x \equiv 0 \pmod{4} \\ x \equiv 13 \pmod{25} \end{cases} $$ Из второго сравнения следует, что $x$ можно записать в виде $x = 25k + 13$ для некоторого целого числа $k$. Подставим это выражение в первое сравнение: $25k + 13 \equiv 0 \pmod{4}$. Упростим коэффициенты по модулю 4 ($25 \equiv 1 \pmod{4}$, $13 \equiv 1 \pmod{4}$): $1 \cdot k + 1 \equiv 0 \pmod{4}$, $k \equiv -1 \pmod{4}$, или $k \equiv 3 \pmod{4}$. Значит, $k$ можно представить как $k = 4m + 3$ для некоторого целого $m$.

Подставим это выражение для $k$ обратно в формулу для $x$: $x = 25(4m + 3) + 13 = 100m + 75 + 13 = 100m + 88$. Таким образом, $x \equiv 88 \pmod{100}$.

Две последние цифры числа $2^{999}$ — это 88.

Ответ: 88

2) $3^{999}$

Нам нужно вычислить $3^{999} \pmod{100}$.

Поскольку числа 3 и 100 взаимно просты ($\text{НОД}(3, 100) = 1$), мы можем применить теорему Эйлера для модуля 100. Найдем значение функции Эйлера для $n=100$: $\phi(100) = \phi(2^2 \cdot 5^2) = 100 \cdot (1 - 1/2) \cdot (1 - 1/5) = 100 \cdot 1/2 \cdot 4/5 = 40$. По теореме Эйлера, $3^{\phi(100)} \equiv 3^{40} \equiv 1 \pmod{100}$.

Теперь уменьшим показатель степени 999 по модулю 40: $999 = 24 \times 40 + 39$. Следовательно, $3^{999} = 3^{40 \times 24 + 39} = (3^{40})^{24} \times 3^{39} \equiv 1^{24} \times 3^{39} \equiv 3^{39} \pmod{100}$.

Для вычисления $3^{39} \pmod{100}$ удобно использовать свойство $3^{39} = 3^{40-1} = 3^{40} \cdot 3^{-1}$. Так как $3^{40} \equiv 1 \pmod{100}$, получаем: $3^{39} \equiv 1 \cdot 3^{-1} \equiv 3^{-1} \pmod{100}$. Нам нужно найти число, обратное к 3 по модулю 100. Обозначим его $y$. Тогда $3y \equiv 1 \pmod{100}$. Это равносильно решению диофантова уравнения $3y - 100k = 1$. Из расширенного алгоритма Евклида для чисел 100 и 3: $100 = 33 \times 3 + 1$. Отсюда $1 = 100 - 33 \times 3$. Рассматривая это равенство по модулю 100, получаем: $1 \equiv -33 \times 3 \pmod{100}$. Поскольку $-33 \equiv 67 \pmod{100}$, то $1 \equiv 67 \times 3 \pmod{100}$. Таким образом, $3^{-1} \equiv 67 \pmod{100}$.

Следовательно, $3^{999} \equiv 3^{39} \equiv 67 \pmod{100}$.

Две последние цифры числа $3^{999}$ — это 67.

Ответ: 67