Номер 705, страница 318 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 705, страница 318.
№705 (с. 318)
Условие. №705 (с. 318)
скриншот условия

705. Делится ли на 7 число сочетаний из 1000 элементов по 500?
Решение 1. №705 (с. 318)

Решение 2. №705 (с. 318)

Решение 3. №705 (с. 318)
Для ответа на этот вопрос необходимо определить, делится ли число сочетаний из 1000 элементов по 500, которое обозначается как $C_{1000}^{500}$, на простое число 7.
Число сочетаний из $n$ по $k$ вычисляется по формуле биномиального коэффициента:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
В данном случае $n=1000$ и $k=500$, поэтому мы исследуем число:$C_{1000}^{500} = \frac{1000!}{500! \cdot 500!}$
Чтобы проверить делимость целого числа на простое число $p$, можно найти показатель степени, с которой $p$ входит в каноническое разложение этого числа на простые множители. Если этот показатель (степень) больше нуля, то число делится на $p$. Если показатель равен нулю, то число не делится на $p$.
Показатель степени простого числа $p$ в разложении факториала $n!$ (обозначается $v_p(n!)$) находится по формуле Лежандра:$v_p(n!) = \sum_{i=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^i} \rfloor$где $\lfloor x \rfloor$ — это функция «пол», то есть взятие целой части числа $x$.
Используя свойства этого показателя, для $C_{1000}^{500}$ мы можем записать:$v_7(C_{1000}^{500}) = v_7(\frac{1000!}{500! \cdot 500!}) = v_7(1000!) - v_7(500!) - v_7(500!) = v_7(1000!) - 2 \cdot v_7(500!)$
Теперь вычислим значения $v_7(1000!)$ и $v_7(500!)$ по отдельности.
Вычисление $v_7(1000!)$. Необходимо просуммировать целые части от деления 1000 на степени числа 7 ($7^1=7$, $7^2=49$, $7^3=343$; следующая степень $7^4=2401$ уже больше 1000).$v_7(1000!) = \lfloor \frac{1000}{7} \rfloor + \lfloor \frac{1000}{49} \rfloor + \lfloor \frac{1000}{343} \rfloor$$v_7(1000!) = 142 + 20 + 2 = 164$
Вычисление $v_7(500!)$. Аналогично, используем степени 7, не превосходящие 500.$v_7(500!) = \lfloor \frac{500}{7} \rfloor + \lfloor \frac{500}{49} \rfloor + \lfloor \frac{500}{343} \rfloor$$v_7(500!) = 71 + 10 + 1 = 82$
Теперь подставим полученные значения в формулу для показателя степени 7 в разложении $C_{1000}^{500}$:$v_7(C_{1000}^{500}) = v_7(1000!) - 2 \cdot v_7(500!) = 164 - 2 \cdot 82 = 164 - 164 = 0$
Поскольку показатель степени, с которой простое число 7 входит в разложение числа $C_{1000}^{500}$, равен 0, это означает, что 7 не является простым множителем этого числа. Следовательно, число сочетаний из 1000 по 500 не делится на 7.
Ответ: Нет, число сочетаний из 1000 элементов по 500 не делится на 7.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 705 расположенного на странице 318 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №705 (с. 318), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.