Номер 705, страница 318 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 705, страница 318.

№705 (с. 318)
Условие. №705 (с. 318)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 318, номер 705, Условие

705. Делится ли на 7 число сочетаний из 1000 элементов по 500?

Решение 1. №705 (с. 318)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 318, номер 705, Решение 1
Решение 2. №705 (с. 318)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 318, номер 705, Решение 2
Решение 3. №705 (с. 318)

Для ответа на этот вопрос необходимо определить, делится ли число сочетаний из 1000 элементов по 500, которое обозначается как $C_{1000}^{500}$, на простое число 7.

Число сочетаний из $n$ по $k$ вычисляется по формуле биномиального коэффициента:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае $n=1000$ и $k=500$, поэтому мы исследуем число:$C_{1000}^{500} = \frac{1000!}{500! \cdot 500!}$

Чтобы проверить делимость целого числа на простое число $p$, можно найти показатель степени, с которой $p$ входит в каноническое разложение этого числа на простые множители. Если этот показатель (степень) больше нуля, то число делится на $p$. Если показатель равен нулю, то число не делится на $p$.

Показатель степени простого числа $p$ в разложении факториала $n!$ (обозначается $v_p(n!)$) находится по формуле Лежандра:$v_p(n!) = \sum_{i=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^i} \rfloor$где $\lfloor x \rfloor$ — это функция «пол», то есть взятие целой части числа $x$.

Используя свойства этого показателя, для $C_{1000}^{500}$ мы можем записать:$v_7(C_{1000}^{500}) = v_7(\frac{1000!}{500! \cdot 500!}) = v_7(1000!) - v_7(500!) - v_7(500!) = v_7(1000!) - 2 \cdot v_7(500!)$

Теперь вычислим значения $v_7(1000!)$ и $v_7(500!)$ по отдельности.

Вычисление $v_7(1000!)$. Необходимо просуммировать целые части от деления 1000 на степени числа 7 ($7^1=7$, $7^2=49$, $7^3=343$; следующая степень $7^4=2401$ уже больше 1000).$v_7(1000!) = \lfloor \frac{1000}{7} \rfloor + \lfloor \frac{1000}{49} \rfloor + \lfloor \frac{1000}{343} \rfloor$$v_7(1000!) = 142 + 20 + 2 = 164$

Вычисление $v_7(500!)$. Аналогично, используем степени 7, не превосходящие 500.$v_7(500!) = \lfloor \frac{500}{7} \rfloor + \lfloor \frac{500}{49} \rfloor + \lfloor \frac{500}{343} \rfloor$$v_7(500!) = 71 + 10 + 1 = 82$

Теперь подставим полученные значения в формулу для показателя степени 7 в разложении $C_{1000}^{500}$:$v_7(C_{1000}^{500}) = v_7(1000!) - 2 \cdot v_7(500!) = 164 - 2 \cdot 82 = 164 - 164 = 0$

Поскольку показатель степени, с которой простое число 7 входит в разложение числа $C_{1000}^{500}$, равен 0, это означает, что 7 не является простым множителем этого числа. Следовательно, число сочетаний из 1000 по 500 не делится на 7.

Ответ: Нет, число сочетаний из 1000 элементов по 500 не делится на 7.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 705 расположенного на странице 318 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №705 (с. 318), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.