Номер 705, страница 318 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 705, страница 318.

Условие.

705. Делится ли на 7 число сочетаний из 1000 элементов по 500?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для ответа на этот вопрос необходимо определить, делится ли число сочетаний из 1000 элементов по 500, которое обозначается как $C_{1000}^{500}$, на простое число 7.

Число сочетаний из $n$ по $k$ вычисляется по формуле биномиального коэффициента:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае $n=1000$ и $k=500$, поэтому мы исследуем число:$C_{1000}^{500} = \frac{1000!}{500! \cdot 500!}$

Чтобы проверить делимость целого числа на простое число $p$, можно найти показатель степени, с которой $p$ входит в каноническое разложение этого числа на простые множители. Если этот показатель (степень) больше нуля, то число делится на $p$. Если показатель равен нулю, то число не делится на $p$.

Показатель степени простого числа $p$ в разложении факториала $n!$ (обозначается $v_p(n!)$) находится по формуле Лежандра:$v_p(n!) = \sum_{i=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^i} \rfloor$где $\lfloor x \rfloor$ — это функция «пол», то есть взятие целой части числа $x$.

Используя свойства этого показателя, для $C_{1000}^{500}$ мы можем записать:$v_7(C_{1000}^{500}) = v_7(\frac{1000!}{500! \cdot 500!}) = v_7(1000!) - v_7(500!) - v_7(500!) = v_7(1000!) - 2 \cdot v_7(500!)$

Теперь вычислим значения $v_7(1000!)$ и $v_7(500!)$ по отдельности.

Вычисление $v_7(1000!)$. Необходимо просуммировать целые части от деления 1000 на степени числа 7 ($7^1=7$, $7^2=49$, $7^3=343$; следующая степень $7^4=2401$ уже больше 1000).$v_7(1000!) = \lfloor \frac{1000}{7} \rfloor + \lfloor \frac{1000}{49} \rfloor + \lfloor \frac{1000}{343} \rfloor$$v_7(1000!) = 142 + 20 + 2 = 164$

Вычисление $v_7(500!)$. Аналогично, используем степени 7, не превосходящие 500.$v_7(500!) = \lfloor \frac{500}{7} \rfloor + \lfloor \frac{500}{49} \rfloor + \lfloor \frac{500}{343} \rfloor$$v_7(500!) = 71 + 10 + 1 = 82$

Теперь подставим полученные значения в формулу для показателя степени 7 в разложении $C_{1000}^{500}$:$v_7(C_{1000}^{500}) = v_7(1000!) - 2 \cdot v_7(500!) = 164 - 2 \cdot 82 = 164 - 164 = 0$

Поскольку показатель степени, с которой простое число 7 входит в разложение числа $C_{1000}^{500}$, равен 0, это означает, что 7 не является простым множителем этого числа. Следовательно, число сочетаний из 1000 по 500 не делится на 7.

Ответ: Нет, число сочетаний из 1000 элементов по 500 не делится на 7.