Номер 692, страница 317 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 692, страница 317.

Условие.

692. Высота пирамиды равна $5 \text{ см}$, а площадь её основания равна $4 \text{ см}^2$. На сколько процентов увеличится объём этой пирамиды, если и площадь её основания, и высоту увеличить на 10%?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для вычисления объёма пирамиды: $V = \frac{1}{3} S \cdot H$, где $S$ — это площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Обозначим первоначальные значения высоты и площади основания как $H_1$ и $S_1$ соответственно. Тогда первоначальный объём пирамиды $V_1$ равен:

$V_1 = \frac{1}{3} S_1 H_1$

Согласно условию задачи, и высоту, и площадь основания увеличили на 10%. Увеличение величины на 10% эквивалентно её умножению на коэффициент 1,1. Рассчитаем новые значения высоты ($H_2$) и площади основания ($S_2$):

$H_2 = H_1 \cdot (1 + \frac{10}{100}) = 1.1 H_1$

$S_2 = S_1 \cdot (1 + \frac{10}{100}) = 1.1 S_1$

Теперь вычислим новый объём пирамиды $V_2$, используя новые значения высоты и площади:

$V_2 = \frac{1}{3} S_2 H_2 = \frac{1}{3} (1.1 S_1) (1.1 H_1)$

Перегруппируем множители:

$V_2 = 1.1 \cdot 1.1 \cdot (\frac{1}{3} S_1 H_1) = 1.21 \cdot (\frac{1}{3} S_1 H_1)$

Поскольку выражение в скобках равно первоначальному объёму $V_1$, мы получаем:

$V_2 = 1.21 V_1$

Это соотношение показывает, что новый объём составляет 121% от первоначального. Чтобы найти, на сколько процентов увеличился объём, нужно вычислить разницу между новым и старым объёмом и выразить её в процентах от старого объёма:

$\frac{V_2 - V_1}{V_1} \cdot 100\% = \frac{1.21 V_1 - V_1}{V_1} \cdot 100\% = \frac{0.21 V_1}{V_1} \cdot 100\% = 0.21 \cdot 100\% = 21\%$

Таким образом, объём пирамиды увеличится на 21%. Важно отметить, что конкретные значения высоты (5 см) и площади основания (4 см²), данные в условии, не требуются для нахождения процентного изменения, так как оно не зависит от начальных размеров.

Ответ: на 21%.