Страница 317 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

685. Найти число, если 42% его равны 12,6.

Чтобы найти число по его проценту, нужно значение, которое составляет этот процент, разделить на величину процента, выраженную в виде десятичной дроби.

Пусть искомое число равно $x$.

По условию задачи 42% от числа $x$ составляют 12,6.

Сначала представим 42% в виде десятичной дроби. Для этого необходимо разделить количество процентов на 100:$42\% = \frac{42}{100} = 0.42$

Теперь составим уравнение на основе условия задачи. Произведение искомого числа $x$ на его долю 0,42 равно значению этой доли, то есть 12,6:$0.42 \cdot x = 12.6$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0,42:$x = \frac{12.6}{0.42}$

Для удобства вычислений можно избавиться от десятичных дробей, умножив числитель и знаменатель на 100:$x = \frac{12.6 \cdot 100}{0.42 \cdot 100} = \frac{1260}{42}$

Теперь выполним деление:$x = 30$

Таким образом, искомое число равно 30.

Проверка:$30 \cdot 0.42 = 12.6$
Равенство верное.

Ответ: 30

686. Какой процент составляет $1.365$ от $39$?

Чтобы найти, какой процент составляет одно число от другого, нужно первое число (часть) разделить на второе число (целое) и результат умножить на 100.

Формула для этого расчета выглядит так:

$$ \text{Процент} = \left(\frac{\text{Часть}}{\text{Целое}}\right) \times 100\% $$

В данном случае нам необходимо определить, какой процент составляет число 1,365 (часть) от числа 39 (целое).

Подставим наши значения в формулу:

$$ \text{Процент} = \left(\frac{1,365}{39}\right) \times 100\% $$

1. Сначала выполним деление:

$$ 1,365 \div 39 = 0,035 $$

2. Теперь умножим полученное десятичное число на 100, чтобы выразить его в виде процентов:

$$ 0,035 \times 100\% = 3,5\% $$

Таким образом, число 1,365 составляет 3,5% от числа 39.

Ответ: 3,5%.

687. Какой процент составляет 46,6 от 11,65?

Чтобы найти, какой процент составляет одно число от другого, нужно первое число (часть) разделить на второе (целое) и результат умножить на 100%.

Формула выглядит следующим образом:

$$ \text{Процент} = \left( \frac{\text{Часть}}{\text{Целое}} \right) \times 100\% $$

В нашей задаче число 46,6 является "частью", а число 11,65 — "целым".

Подставим эти значения в формулу:

$$ \left( \frac{46,6}{11,65} \right) \times 100\% $$

1. Сначала выполним деление. Для удобства вычислений избавимся от десятичных дробей, умножив числитель и знаменатель на 100 (так как у делителя 11,65 два знака после запятой):

$$ \frac{46,6}{11,65} = \frac{46,6 \times 100}{11,65 \times 100} = \frac{4660}{1165} $$

2. Теперь разделим полученные целые числа:

$$ 4660 \div 1165 = 4 $$

3. Наконец, умножим полученный результат на 100, чтобы выразить его в процентах:

$$ 4 \times 100\% = 400\% $$

Ответ: 400%

688. Найти 180% от 7,5.

Чтобы найти 180% от числа 7,5, необходимо выполнить следующие действия. Сначала нужно перевести проценты в десятичную дробь. Для этого значение процентов делится на 100.

$180\% = \frac{180}{100} = 1,8$

Далее, чтобы найти искомое значение, нужно умножить исходное число 7,5 на полученную десятичную дробь:

$7,5 \times 1,8 = 13,5$

Другой способ решения — использование пропорции. Примем число 7,5 за 100%, а искомое число, которое составляет 180% от 7,5, обозначим как $x$. Составим пропорцию:

$\frac{7,5}{100\%} = \frac{x}{180\%}$

Решим эту пропорцию, чтобы найти $x$:

$x = \frac{7,5 \times 180}{100}$

$x = \frac{1350}{100}$

$x = 13,5$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 13,5

689. Цена товара была снижена сначала на 24%, а затем на 50% от новой цены. Найти общий процент снижения цены товара.

Для нахождения общего процента снижения цены товара необходимо последовательно применить оба изменения цены.

Пусть первоначальная цена товара составляет $x$.

1. Первое снижение цены. Цена была снижена на $24\%$. Новая цена ($P_1$) составит $100\% - 24\% = 76\%$ от первоначальной. Математически это можно выразить так: $P_1 = x \cdot (1 - \frac{24}{100}) = x \cdot 0.76 = 0.76x$

2. Второе снижение цены. Затем цена была снижена на $50\%$ от новой цены ($P_1$). Это означает, что конечная цена ($P_2$) составит $100\% - 50\% = 50\%$ от цены $P_1$. Вычислим конечную цену: $P_2 = P_1 \cdot (1 - \frac{50}{100}) = P_1 \cdot 0.5$ Теперь подставим в это уравнение выражение для $P_1$ из первого шага: $P_2 = (0.76x) \cdot 0.5 = 0.38x$

3. Расчет общего процента снижения. Итак, конечная цена товара $P_2$ составляет $0.38$ от первоначальной цены $x$, что равно $38\%$. Чтобы найти общий процент снижения, нужно из первоначальной величины ($100\%$) вычесть ту долю, которую составляет конечная цена: Общий процент снижения = $100\% - 38\% = 62\%$

Таким образом, цена товара в итоге была снижена на 62%.

Ответ: 62%.

690. В сплаве содержится 18 кг цинка, 6 кг олова и 36 кг меди. Каково процентное содержание составных частей сплава?

Чтобы найти процентное содержание составных частей сплава, необходимо выполнить следующие действия:

1. Вычислить общую массу сплава. Для этого нужно сложить массы всех его компонентов: цинка, олова и меди.

Общая масса сплава = $18 \text{ кг} + 6 \text{ кг} + 36 \text{ кг} = 60 \text{ кг}$.

Эта общая масса сплава (60 кг) принимается за 100%.

2. Рассчитать процентное содержание для каждого компонента. Процентное содержание компонента вычисляется по формуле: $(\text{масса компонента} / \text{общая масса сплава}) \times 100\%$.

Процентное содержание цинка

Масса цинка равна 18 кг. Процентное содержание цинка в сплаве составляет:

${18 \over 60} \times 100\% = 0.3 \times 100\% = 30\%$.

Процентное содержание олова

Масса олова равна 6 кг. Процентное содержание олова в сплаве составляет:

${6 \over 60} \times 100\% = 0.1 \times 100\% = 10\%$.

Процентное содержание меди

Масса меди равна 36 кг. Процентное содержание меди в сплаве составляет:

${36 \over 60} \times 100\% = 0.6 \times 100\% = 60\%$.

3. Проверка. Сумма процентов всех компонентов должна равняться 100%:

$30\% + 10\% + 60\% = 100\%$.

Расчеты верны.

Ответ: процентное содержание составных частей сплава: цинк – 30%, олово – 10%, медь – 60%.

691. Стоимость товара и перевозки составляет 3942 р., причём расходы по перевозке товара составляют 8% стоимости самого товара. Какова стоимость товара без учёта стоимости его перевозки?

Для решения данной задачи необходимо составить уравнение. Пусть $x$ — это искомая стоимость товара в рублях.

Согласно условию, расходы на перевозку составляют 8% от стоимости самого товара. Чтобы выразить эту величину, переведем проценты в десятичную дробь: $8\% = \frac{8}{100} = 0,08$.

Таким образом, стоимость перевозки составляет $0,08 \cdot x$ рублей.

Общая стоимость товара и его перевозки равна 3942 рубля. Эта сумма складывается из стоимости товара ($x$) и стоимости перевозки ($0,08x$). Составим и решим уравнение:

$x + 0,08x = 3942$

Сложим подобные слагаемые в левой части уравнения:

$1,08x = 3942$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 1,08:

$x = \frac{3942}{1,08}$

Для удобства вычислений, избавимся от дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 100:

$x = \frac{394200}{108}$

Выполнив деление, получаем:

$x = 3650$

Следовательно, стоимость товара без учёта стоимости его перевозки составляет 3650 рублей.

Ответ: 3650 рублей.

692. Высота пирамиды равна $5 \text{ см}$, а площадь её основания равна $4 \text{ см}^2$. На сколько процентов увеличится объём этой пирамиды, если и площадь её основания, и высоту увеличить на 10%?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для вычисления объёма пирамиды: $V = \frac{1}{3} S \cdot H$, где $S$ — это площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Обозначим первоначальные значения высоты и площади основания как $H_1$ и $S_1$ соответственно. Тогда первоначальный объём пирамиды $V_1$ равен:

$V_1 = \frac{1}{3} S_1 H_1$

Согласно условию задачи, и высоту, и площадь основания увеличили на 10%. Увеличение величины на 10% эквивалентно её умножению на коэффициент 1,1. Рассчитаем новые значения высоты ($H_2$) и площади основания ($S_2$):

$H_2 = H_1 \cdot (1 + \frac{10}{100}) = 1.1 H_1$

$S_2 = S_1 \cdot (1 + \frac{10}{100}) = 1.1 S_1$

Теперь вычислим новый объём пирамиды $V_2$, используя новые значения высоты и площади:

$V_2 = \frac{1}{3} S_2 H_2 = \frac{1}{3} (1.1 S_1) (1.1 H_1)$

Перегруппируем множители:

$V_2 = 1.1 \cdot 1.1 \cdot (\frac{1}{3} S_1 H_1) = 1.21 \cdot (\frac{1}{3} S_1 H_1)$

Поскольку выражение в скобках равно первоначальному объёму $V_1$, мы получаем:

$V_2 = 1.21 V_1$

Это соотношение показывает, что новый объём составляет 121% от первоначального. Чтобы найти, на сколько процентов увеличился объём, нужно вычислить разницу между новым и старым объёмом и выразить её в процентах от старого объёма:

$\frac{V_2 - V_1}{V_1} \cdot 100\% = \frac{1.21 V_1 - V_1}{V_1} \cdot 100\% = \frac{0.21 V_1}{V_1} \cdot 100\% = 0.21 \cdot 100\% = 21\%$

Таким образом, объём пирамиды увеличится на 21%. Важно отметить, что конкретные значения высоты (5 см) и площади основания (4 см²), данные в условии, не требуются для нахождения процентного изменения, так как оно не зависит от начальных размеров.

Ответ: на 21%.

693. При делении некоторого числа на 72 получится остаток, равный 68. Каким будет остаток, если это же число разделить на 12?

Пусть искомое число — это $N$. По условию задачи, при делении числа $N$ на 72 в остатке получается 68. Это можно записать в виде равенства с помощью формулы деления с остатком:
$N = 72 \cdot q + 68$
Здесь $q$ — это неполное частное, являющееся некоторым целым числом.

Теперь нам нужно найти остаток от деления этого же числа $N$ на 12. Для этого проанализируем выражение $N = 72 \cdot q + 68$ на предмет делимости на 12.

Рассмотрим каждое слагаемое в правой части равенства по отдельности.
Первое слагаемое, $72 \cdot q$, делится на 12 без остатка, поскольку множитель 72 сам является кратным 12:
$72 \div 12 = 6$
Следовательно, мы можем переписать это слагаемое как $72 \cdot q = (12 \cdot 6) \cdot q = 12 \cdot (6q)$. Это означает, что первая часть выражения ($72 \cdot q$) делится на 12 нацело и не вносит вклада в итоговый остаток.

Таким образом, остаток от деления всего числа $N$ на 12 будет равен остатку от деления второго слагаемого, числа 68, на 12.
Найдем остаток от деления 68 на 12:
$68 \div 12 = 5$ с остатком $8$, так как $12 \cdot 5 + 8 = 60 + 8 = 68$.

Подставив все это в исходное выражение, получим:
$N = 72 \cdot q + 68 = 12 \cdot (6q) + (12 \cdot 5 + 8)$
Сгруппировав члены, кратные 12, и вынеся 12 за скобки, получим:
$N = 12 \cdot (6q + 5) + 8$
Эта запись показывает, что при делении числа $N$ на 12 в частном получается $(6q + 5)$, а в остатке — 8.

Ответ: 8

694. Сумма двух чисел равна 1100. Найти наибольшее из них, если $6\%$ одного числа равны $5\%$ другого.

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть первое число будет $x$, а второе — $y$.

Согласно условию, сумма этих двух чисел равна 1100. Это можно записать в виде первого уравнения:

$x + y = 1100$

Также из условия известно, что 6% одного числа равны 5% другого. Переведем проценты в десятичные дроби: $6\% = 0.06$ и $5\% = 0.05$. Тогда второе уравнение будет выглядеть так:

$0.06x = 0.05y$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} x + y = 1100 \\ 0.06x = 0.05y \end{cases}$

Выразим одну переменную через другую из второго уравнения. Для удобства умножим обе части второго уравнения на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$6x = 5y$

Отсюда выразим $x$ через $y$:

$x = \frac{5}{6}y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$\frac{5}{6}y + y = 1100$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{5}{6}y + \frac{6}{6}y = 1100$

$\frac{11}{6}y = 1100$

Теперь решим уравнение относительно $y$:

$y = 1100 \cdot \frac{6}{11}$

$y = \frac{1100 \cdot 6}{11}$

$y = 100 \cdot 6$

$y = 600$

Мы нашли одно из чисел. Теперь найдем второе число, $x$, подставив значение $y$ в первое уравнение:

$x + 600 = 1100$

$x = 1100 - 600$

$x = 500$

Итак, мы получили два числа: 500 и 600. В задаче требуется найти наибольшее из них. Сравниваем полученные числа:

$600 > 500$

Следовательно, наибольшее из двух чисел — это 600.

Ответ: 600.

695. По вкладу, вносимому на срок не менее года, Сбербанк выплачивает 3% годовых. Вкладчик внёс в Сбербанк вклад в размере 6000 р. Какую сумму денег он получит в конце второго года со дня вклада? в конце третьего года со дня вклада?

Для решения этой задачи используется формула сложных процентов, так как проценты, начисляемые ежегодно, прибавляются к сумме вклада (происходит капитализация), и в следующем году процент начисляется уже на увеличенную сумму.

Общая формула для расчета итоговой суммы вклада ($S_n$) через $n$ лет выглядит так:

$S_n = P \cdot (1 + \frac{r}{100})^n$

Здесь $P$ — это первоначальная сумма вклада, которая равна 6000 р., $r$ — это годовая процентная ставка, равная 3%, а $n$ — это количество лет.

в конце второго года со дня вклада

Чтобы найти сумму на счете в конце второго года, подставим в формулу $n = 2$.

Расчет можно провести поэтапно:

1. Сумма в конце первого года: $S_1 = 6000 \cdot (1 + \frac{3}{100}) = 6000 \cdot 1.03 = 6180$ р.

2. Сумма в конце второго года (проценты начисляются уже на сумму 6180 р.): $S_2 = 6180 \cdot 1.03 = 6365.4$ р.

Или можно рассчитать сразу по общей формуле:

$S_2 = 6000 \cdot (1 + \frac{3}{100})^2 = 6000 \cdot (1.03)^2 = 6000 \cdot 1.0609 = 6365.4$ р.

Ответ: 6365,4 р.

в конце третьего года со дня вклада

Для расчета суммы в конце третьего года мы берем сумму на конец второго года (6365,4 р.) и начисляем на нее проценты за третий год:

$S_3 = 6365.4 \cdot 1.03 = 6556.362$ р.

Или, используя общую формулу для $n=3$:

$S_3 = 6000 \cdot (1 + \frac{3}{100})^3 = 6000 \cdot (1.03)^3 \approx 6000 \cdot 1.092727 = 6556.362$ р.

Округлив результат до сотых (копеек), получаем 6556,36 р.

Ответ: 6556,36 р.