Страница 324 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

764. $\frac{\sin 2\alpha}{2(1 - 2\cos^2\alpha)} + \frac{\sin \alpha \cos(\pi - \alpha)}{1 - 2\sin^2\alpha}$.

764.

Для упрощения данного выражения, выполним преобразования по шагам.

Исходное выражение:

$$ \frac{\sin(2\alpha)}{2(1 - 2\cos^2\alpha)} + \frac{\sin\alpha\cos(\pi - \alpha)}{1 - 2\sin^2\alpha} $$

1. Упростим знаменатели дробей, используя формулы косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$ и $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

Знаменатель первой дроби: $2(1 - 2\cos^2\alpha) = -2(2\cos^2\alpha - 1) = -2\cos(2\alpha)$.

Знаменатель второй дроби: $1 - 2\sin^2\alpha = \cos(2\alpha)$.

2. Упростим числитель второй дроби. Используем формулу приведения $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$.

Числитель второй дроби: $\sin\alpha\cos(\pi - \alpha) = \sin\alpha(-\cos\alpha) = -\sin\alpha\cos\alpha$.

Теперь применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, из которой следует, что $-\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

3. Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$$ \frac{\sin(2\alpha)}{-2\cos(2\alpha)} + \frac{-\frac{1}{2}\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} $$

4. Упростим полученное выражение:

$$ -\frac{\sin(2\alpha)}{2\cos(2\alpha)} - \frac{\sin(2\alpha)}{2\cos(2\alpha)} = \frac{-\sin(2\alpha) - \sin(2\alpha)}{2\cos(2\alpha)} = \frac{-2\sin(2\alpha)}{2\cos(2\alpha)} $$

5. Сократим полученную дробь и воспользуемся определением тангенса $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$:

$$ -\frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = -\tan(2\alpha) $$

Ответ: $-\tan(2\alpha)$.

765. Доказать тождество

$\frac{\cos^2 x}{1+\sin x} - \frac{\sin^2 x}{1-\cos x} = -\sin x - \cos x.$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Из него следуют два равенства, которые мы будем использовать:

1. $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$

2. $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$

Подставим эти выражения в числители дробей в левой части исходного равенства:

$\frac{\cos^2 x}{1 + \sin x} - \frac{\sin^2 x}{1 - \cos x} = \frac{1 - \sin^2 x}{1 + \sin x} - \frac{1 - \cos^2 x}{1 - \cos x}$

Теперь применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к числителям обеих дробей:

$1 - \sin^2 x = (1 - \sin x)(1 + \sin x)$

$1 - \cos^2 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x)$

Подставив разложенные на множители выражения обратно, получим:

$\frac{(1 - \sin x)(1 + \sin x)}{1 + \sin x} - \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{1 - \cos x}$

Сократим дроби. В первой дроби сокращается множитель $(1 + \sin x)$, а во второй — $(1 - \cos x)$. Это возможно при условии, что знаменатели не равны нулю, то есть $1 + \sin x \neq 0$ и $1 - \cos x \neq 0$. После сокращения получаем:

$(1 - \sin x) - (1 + \cos x)$

Далее раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$1 - \sin x - 1 - \cos x = -\sin x - \cos x$

В результате преобразования левой части мы получили выражение, которое в точности совпадает с правой частью исходного тождества:

$-\sin x - \cos x = -\sin x - \cos x$

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

766. Разложить на множители:

1) $1 + \cos\alpha + \sin\alpha;$

2) $1 - \cos\alpha - \sin\alpha;$

3) $3 - 4\sin^2\alpha;$

4) $1 - 4\cos^2\alpha.$

1) $1 + \cos\alpha + \sin\alpha$

Для разложения этого выражения на множители воспользуемся формулами половинного угла. Нам понадобятся следующие тождества:

Формула косинуса двойного угла в виде для $1 + \cos\alpha$:

$1 + \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}$

Формула синуса двойного угла:

$\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$

Подставим эти выражения в исходное:

$1 + \cos\alpha + \sin\alpha = (1 + \cos\alpha) + \sin\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} + 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$

Теперь мы можем вынести за скобки общий множитель $2\cos\frac{\alpha}{2}$:

$2\cos\frac{\alpha}{2}(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2})$

Это и есть разложение на множители.

Ответ: $2\cos\frac{\alpha}{2}(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2})$

2) $1 - \cos\alpha - \sin\alpha$

Решение аналогично предыдущему пункту, но используется другая формула для косинуса.

Формула косинуса двойного угла в виде для $1 - \cos\alpha$:

$1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$

Формула синуса двойного угла остается той же:

$\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$

Подставляем в исходное выражение:

$1 - \cos\alpha - \sin\alpha = (1 - \cos\alpha) - \sin\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2} - 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$

Вынесем за скобки общий множитель $2\sin\frac{\alpha}{2}$:

$2\sin\frac{\alpha}{2}(\sin\frac{\alpha}{2} - \cos\frac{\alpha}{2})$

Ответ: $2\sin\frac{\alpha}{2}(\sin\frac{\alpha}{2} - \cos\frac{\alpha}{2})$

3) $3 - 4\sin^2\alpha$

Для разложения этого выражения используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Заменим число 3 на выражение $3(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$:

$3 - 4\sin^2\alpha = 3(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) - 4\sin^2\alpha$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha - 4\sin^2\alpha = 3\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$

Полученное выражение представляет собой разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = \sqrt{3}\cos\alpha$ и $b = \sin\alpha$.

$(\sqrt{3}\cos\alpha)^2 - (\sin\alpha)^2 = (\sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha)(\sqrt{3}\cos\alpha + \sin\alpha)$

Ответ: $(\sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha)(\sqrt{3}\cos\alpha + \sin\alpha)$

4) $1 - 4\cos^2\alpha$

Это выражение можно сразу разложить на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Представим выражение в виде разности квадратов:

$1 - 4\cos^2\alpha = 1^2 - (2\cos\alpha)^2$

Теперь применим формулу, где $a=1$ и $b=2\cos\alpha$:

$(1 - 2\cos\alpha)(1 + 2\cos\alpha)$

Это и является искомым разложением.

Ответ: $(1 - 2\cos\alpha)(1 + 2\cos\alpha)$

767. Доказать, что если $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, то:

1) $\sin\alpha + \sin\beta - \sin\gamma = 4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}$;

2) $\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$.

1) Докажем тождество $sin \alpha + sin \beta - sin \gamma = 4 \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}$ при условии $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.
Преобразуем левую часть равенства. Сначала применим формулу суммы синусов для первых двух слагаемых: $sin \alpha + sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
$sin \alpha + sin \beta - sin \gamma = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - sin \gamma$.
Из условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ выразим $\alpha+\beta = \pi - \gamma$, тогда $\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}$.
Используя формулу приведения $sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x$, получим: $sin\frac{\alpha+\beta}{2} = \cos\frac{\gamma}{2}$.
Подставим это в наше выражение: $2 \cos\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - sin \gamma$.
Далее, используем формулу синуса двойного угла для $sin \gamma = 2 \sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}$.
Выражение примет вид: $2 \cos\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - 2 \sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}$.
Вынесем общий множитель $2 \cos\frac{\gamma}{2}$: $2 \cos\frac{\gamma}{2}\left(\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \sin\frac{\gamma}{2}\right)$.
Теперь преобразуем $sin\frac{\gamma}{2}$. Из условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ следует, что $\frac{\gamma}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha+\beta}{2}$.
По формуле приведения $sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x$, имеем $sin\frac{\gamma}{2} = \cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.
Подставим в скобки: $2 \cos\frac{\gamma}{2}\left(\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$.
К выражению в скобках применим формулу разности косинусов: $\cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$.
Для $x = \frac{\alpha-\beta}{2}$ и $y = \frac{\alpha+\beta}{2}$ получаем:$\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos\frac{\alpha+\beta}{2} = -2 \sin\left(\frac{\frac{\alpha-\beta}{2} + \frac{\alpha+\beta}{2}}{2}\right)\sin\left(\frac{\frac{\alpha-\beta}{2} - \frac{\alpha+\beta}{2}}{2}\right) = -2 \sin\frac{\alpha}{2}\sin\left(-\frac{\beta}{2}\right)$.
Так как $sin(-z) = -sin(z)$, то $-2 \sin\frac{\alpha}{2}\sin\left(-\frac{\beta}{2}\right) = 2 \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}$.
В итоге получаем: $2 \cos\frac{\gamma}{2} \cdot \left(2 \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\right) = 4 \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}$.
Мы преобразовали левую часть к правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $sin 2\alpha + sin 2\beta + sin 2\gamma = 4 \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma$ при условии $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.
Преобразуем левую часть. Применим формулу суммы синусов: $sin 2\alpha + sin 2\beta = 2 \sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$.
$sin 2\alpha + sin 2\beta + sin 2\gamma = 2 \sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) + sin 2\gamma$.
Из условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ следует, что $\alpha+\beta = \pi - \gamma$.
По формуле приведения $sin(\pi - x) = sin x$, получаем: $sin(\alpha+\beta) = sin \gamma$.
Подставим в выражение: $2 \sin\gamma \cos(\alpha-\beta) + sin 2\gamma$.
Используем формулу синуса двойного угла $sin 2\gamma = 2 \sin\gamma \cos\gamma$.
$2 \sin\gamma \cos(\alpha-\beta) + 2 \sin\gamma \cos\gamma$.
Вынесем общий множитель $2 \sin\gamma$: $2 \sin\gamma \left(\cos(\alpha-\beta) + \cos\gamma\right)$.
Теперь преобразуем $\cos\gamma$. Из условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ имеем $\gamma = \pi - (\alpha+\beta)$.
По формуле приведения $\cos(\pi - x) = -\cos x$, получаем $\cos\gamma = -\cos(\alpha+\beta)$.
Подставим в скобки: $2 \sin\gamma \left(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)\right)$.
Применим формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$.
Для $x = \alpha-\beta$ и $y = \alpha+\beta$ получаем:
$\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) = -2 \sin\left(\frac{\alpha-\beta + \alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta - (\alpha+\beta)}{2}\right) = -2 \sin\alpha \sin(-\beta)$.
Так как $sin(-z) = -sin(z)$, то $-2 \sin\alpha \sin(-\beta) = 2 \sin\alpha \sin\beta$.
В итоге получаем: $2 \sin\gamma \cdot (2 \sin\alpha \sin\beta) = 4 \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma$.
Мы преобразовали левую часть к правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

768. Известно, что $tg\\alpha = 2$. Найти значение выражения:

1) $\frac{\sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha + 3\cos \alpha \sin \alpha}$;

2) $\frac{2 - \sin^2 \alpha}{3 + \cos^2 \alpha}$.

1)

Дано выражение $ \frac{\sin^2 \alpha + \sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2 \alpha + 3\cos\alpha\sin\alpha} $. Поскольку нам известно значение тангенса $ tg \alpha = 2 $, мы можем преобразовать это выражение так, чтобы оно зависело только от $ tg \alpha $. Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на $ \cos^2 \alpha $. Это действие возможно, так как если $ tg \alpha $ существует и равен 2, то $ \cos \alpha \neq 0 $.

Разделим числитель на $ \cos^2 \alpha $:

$ \sin^2 \alpha + \sin\alpha\cos\alpha \rightarrow \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2 \alpha} = \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^2 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = tg^2 \alpha + tg \alpha $

Разделим знаменатель на $ \cos^2 \alpha $:

$ \cos^2 \alpha + 3\cos\alpha\sin\alpha \rightarrow \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{3\cos\alpha\sin\alpha}{\cos^2 \alpha} = 1 + 3\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 1 + 3tg \alpha $

Таким образом, исходное выражение равно:

$ \frac{tg^2 \alpha + tg \alpha}{1 + 3tg \alpha} $

Теперь подставим известное значение $ tg \alpha = 2 $:

$ \frac{2^2 + 2}{1 + 3 \cdot 2} = \frac{4 + 2}{1 + 6} = \frac{6}{7} $

Ответ: $ \frac{6}{7} $

2)

Дано выражение $ \frac{2 - \sin^2 \alpha}{3 + \cos^2 \alpha} $. Чтобы найти его значение, выразим $ \sin^2 \alpha $ и $ \cos^2 \alpha $ через $ tg^2 \alpha $, используя основные тригонометрические тождества.

Из тождества $ 1 + tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $ найдем $ \cos^2 \alpha $:

$ \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + tg^2 \alpha} $

Подставим $ tg \alpha = 2 $ (значит, $ tg^2 \alpha = 4 $):

$ \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + 4} = \frac{1}{5} $

Теперь найдем $ \sin^2 \alpha $ из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $:

$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} $

Подставим найденные значения $ \sin^2 \alpha = \frac{4}{5} $ и $ \cos^2 \alpha = \frac{1}{5} $ в исходное выражение:

$ \frac{2 - \sin^2 \alpha}{3 + \cos^2 \alpha} = \frac{2 - \frac{4}{5}}{3 + \frac{1}{5}} $

Вычислим числитель и знаменатель:

Числитель: $ 2 - \frac{4}{5} = \frac{10}{5} - \frac{4}{5} = \frac{6}{5} $

Знаменатель: $ 3 + \frac{1}{5} = \frac{15}{5} + \frac{1}{5} = \frac{16}{5} $

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{\frac{6}{5}}{\frac{16}{5}} = \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} $

Ответ: $ \frac{3}{8} $

769. Известно, что $ \tan \alpha + \cot \alpha = 3 $. Найти $ \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha $.

Нам дано тригонометрическое уравнение $tg\,\alpha + ctg\,\alpha = 3$. Необходимо найти значение выражения $tg^2\,\alpha + ctg^2\,\alpha$.

Чтобы найти искомое значение, возведем обе части исходного уравнения в квадрат. Для этого воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a = tg\,\alpha$ и $b = ctg\,\alpha$:
$(tg\,\alpha + ctg\,\alpha)^2 = 3^2$
$tg^2\,\alpha + 2 \cdot tg\,\alpha \cdot ctg\,\alpha + ctg^2\,\alpha = 9$

Мы знаем основное тригонометрическое тождество, которое связывает тангенс и котангенс одного и того же угла: $tg\,\alpha \cdot ctg\,\alpha = 1$, поскольку $ctg\,\alpha = \frac{1}{tg\,\alpha}$.

Подставим это тождество в полученное нами уравнение:
$tg^2\,\alpha + 2 \cdot 1 + ctg^2\,\alpha = 9$
$tg^2\,\alpha + 2 + ctg^2\,\alpha = 9$

Теперь, чтобы найти сумму $tg^2\,\alpha + ctg^2\,\alpha$, перенесем число 2 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$tg^2\,\alpha + ctg^2\,\alpha = 9 - 2$
$tg^2\,\alpha + ctg^2\,\alpha = 7$

Ответ: 7

Упростить выражение (770–774).

770. 1) $\frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} - \text{tg} \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)$;

2) $\text{tg}^2 \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha}$.

1) Рассмотрим выражение $\frac{\cos\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha - \sin\alpha} - \tg\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)$.

Сначала упростим первую дробь. Для этого разделим числитель и знаменатель на $\cos\alpha$, при условии, что $\cos\alpha \neq 0$:

$\frac{\cos\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha - \sin\alpha} = \frac{\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{1 + \tg\alpha}{1 - \tg\alpha}$.

Теперь преобразуем второй член выражения, используя формулу тангенса суммы $\tg(x+y) = \frac{\tg x + \tg y}{1 - \tg x \tg y}$:

$\tg\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\tg\frac{\pi}{4} + \tg\alpha}{1 - \tg\frac{\pi}{4}\tg\alpha}$.

Поскольку $\tg\frac{\pi}{4} = 1$, получаем:

$\tg\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{1 + \tg\alpha}{1 - \tg\alpha}$.

Теперь подставим полученные результаты обратно в исходное выражение. Мы видим, что вычитаются два одинаковых выражения:

$\frac{1 + \tg\alpha}{1 - \tg\alpha} - \frac{1 + \tg\alpha}{1 - \tg\alpha} = 0$.

Ответ: $0$

2) Рассмотрим выражение $\tg^2\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha}$.

Упростим каждый член выражения, приведя их к функциям от угла $2\alpha$.

Первый член: используем формулу приведения $\tg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \ctg\alpha$. Затем выразим $\ctg^2\alpha$ через $\cos(2\alpha)$, используя формулы половинного угла:

$\tg^2\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \ctg^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\frac{1+\cos 2\alpha}{2}}{\frac{1-\cos 2\alpha}{2}} = \frac{1+\cos 2\alpha}{1-\cos 2\alpha}$.

Второй член уже содержит $\sin 2\alpha$. Таким образом, исходное выражение принимает вид:

$\frac{1+\cos 2\alpha}{1-\cos 2\alpha} - \frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(1-\cos 2\alpha)(1 + \sin 2\alpha)$:

$\frac{(1+\cos 2\alpha)(1 + \sin 2\alpha) - (1-\cos 2\alpha)(1 - \sin 2\alpha)}{(1-\cos 2\alpha)(1 + \sin 2\alpha)}$.

Раскроем скобки в числителе:

$(1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha + \sin 2\alpha \cos 2\alpha) - (1 - \sin 2\alpha - \cos 2\alpha + \sin 2\alpha \cos 2\alpha)$

$= 1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha + \sin 2\alpha \cos 2\alpha - 1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha - \sin 2\alpha \cos 2\alpha$

$= 2\sin 2\alpha + 2\cos 2\alpha = 2(\sin 2\alpha + \cos 2\alpha)$.

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь.

Ответ: $\frac{2(\sin 2\alpha + \cos 2\alpha)}{(1-\cos 2\alpha)(1 + \sin 2\alpha)}$

771. 1) $\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)};$

2) $\frac{\sin\alpha + 2\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)}{3\cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) - \sqrt{3}\cos\alpha};$

3) $\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta};$

4) $(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2.$

1)

Для упрощения выражения $ \frac{\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) - \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) + \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)} $ воспользуемся формулами синуса и косинуса суммы:
$ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $
$ \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $
А также значениями синуса и косинуса для угла $ \frac{\pi}{4} $: $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Раскроем выражения в числителе и знаменателе.
Числитель: $$ \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) - \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) = (\sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{4}\sin\alpha) - (\cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha) $$ $$ = (\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha) - (\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha) $$ $$ = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = \sqrt{2}\sin\alpha $$

Знаменатель: $$ \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) + \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) = (\sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{4}\sin\alpha) + (\cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha) $$ $$ = (\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha) + (\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha) $$ $$ = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha = \sqrt{2}\cos\alpha $$

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь: $$ \frac{\sqrt{2}\sin\alpha}{\sqrt{2}\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\alpha $$

Ответ: $ \text{tg}\alpha $

2)

Упростим выражение $ \frac{\sin\alpha + 2\sin(\frac{\pi}{3} - \alpha)}{3\cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha} $.
Для этого используем формулы синуса разности и косинуса разности:
$ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $
$ \cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $
А также значения тригонометрических функций для углов $ \frac{\pi}{3} $ и $ \frac{\pi}{6} $:
$ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $
$ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $, $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Преобразуем числитель: $$ \sin\alpha + 2\sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \sin\alpha + 2(\sin\frac{\pi}{3}\cos\alpha - \cos\frac{\pi}{3}\sin\alpha) $$ $$ = \sin\alpha + 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha - \frac{1}{2}\sin\alpha) = \sin\alpha + \sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha $$

Преобразуем знаменатель: $$ 3\cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha = 3(\cos\frac{\pi}{6}\cos\alpha + \sin\frac{\pi}{6}\sin\alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha $$ $$ = 3(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha = \frac{3\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{3}{2}\sin\alpha - \sqrt{3}\cos\alpha $$ $$ = (\frac{3\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3})\cos\alpha + \frac{3}{2}\sin\alpha = (\frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}}{2})\cos\alpha + \frac{3}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{3}{2}\sin\alpha $$

Подставим полученные выражения в дробь: $$ \frac{\sqrt{3}\cos\alpha}{\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{3}{2}\sin\alpha} = \frac{\sqrt{3}\cos\alpha}{\frac{1}{2}(\sqrt{3}\cos\alpha + 3\sin\alpha)} = \frac{2\sqrt{3}\cos\alpha}{\sqrt{3}\cos\alpha + 3\sin\alpha} $$ Вынесем $ \sqrt{3} $ в знаменателе за скобки: $$ \frac{2\sqrt{3}\cos\alpha}{\sqrt{3}(\cos\alpha + \sqrt{3}\sin\alpha)} = \frac{2\cos\alpha}{\cos\alpha + \sqrt{3}\sin\alpha} $$

Ответ: $ \frac{2\cos\alpha}{\cos\alpha + \sqrt{3}\sin\alpha} $

3)

Упростим выражение $ \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta} $.
Выразим котангенсы через тангенсы, используя формулы $ \text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha} $ и $ \text{ctg}\beta = \frac{1}{\text{tg}\beta} $.
Преобразуем знаменатель: $$ \text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta = \frac{1}{\text{tg}\alpha} + \frac{1}{\text{tg}\beta} = \frac{\text{tg}\beta + \text{tg}\alpha}{\text{tg}\alpha \text{tg}\beta} $$

Теперь подставим преобразованный знаменатель в исходную дробь: $$ \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha \text{tg}\beta}} $$ Предполагая, что $ \text{tg}\alpha + \text{tg}\beta \neq 0 $, мы можем сократить это выражение: $$ (\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta) \cdot \frac{\text{tg}\alpha \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta} = \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta $$

Ответ: $ \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta $

4)

Раскроем скобки в выражении $ (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 $, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности: $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $

$ (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha $
$ (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha $

Сложим эти два выражения: $$ (\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha) + (\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha) $$ $$ = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha + \sin^2\alpha + \cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha $$ Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, получаем: $$ = 1 + 1 = 2 $$

Ответ: $ 2 $

772. 1) $\frac{\text{tg}^2\alpha}{1+\text{ctg}^2\alpha}$;

2) $\frac{1+\text{ctg}^2\alpha}{\text{ctg}^2\alpha}$;

3) $\frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta}$;

4) $(\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha)^2 - (\text{tg}\alpha - \text{ctg}\alpha)^2$.

1)
Исходное выражение: $\frac{\text{tg}^2\alpha}{1 + \text{ctg}^2\alpha}$.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$.
Подставим это тождество в знаменатель исходного выражения:
$\frac{\text{tg}^2\alpha}{\frac{1}{\sin^2\alpha}}$
Теперь упростим полученную дробь, умножив числитель на $\sin^2\alpha$:
$\text{tg}^2\alpha \cdot \sin^2\alpha$
Заменим тангенс через отношение синуса к косинусу: $\text{tg}^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$.
Получим: $\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} \cdot \sin^2\alpha = \frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha}$.
Ответ: $\frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha}$

2)
Исходное выражение: $\frac{1 + \text{ctg}^2\alpha}{\text{ctg}^2\alpha}$.
Разделим числитель почленно на знаменатель:
$\frac{1}{\text{ctg}^2\alpha} + \frac{\text{ctg}^2\alpha}{\text{ctg}^2\alpha}$
Используя тождество $\frac{1}{\text{ctg}\alpha} = \text{tg}\alpha$, получим:
$\text{tg}^2\alpha + 1$
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.
Таким образом, выражение равно $\frac{1}{\cos^2\alpha}$.
Ответ: $\frac{1}{\cos^2\alpha}$

3)
Исходное выражение: $\frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta}$.
Заменим котангенсы в знаменателе через тангенсы, используя тождество $\text{ctg}x = \frac{1}{\text{tg}x}$:
$\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta = \frac{1}{\text{tg}\alpha} + \frac{1}{\text{tg}\beta}$
Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю:
$\frac{1}{\text{tg}\alpha} + \frac{1}{\text{tg}\beta} = \frac{\text{tg}\beta + \text{tg}\alpha}{\text{tg}\alpha\text{tg}\beta}$
Теперь подставим это выражение обратно в исходную дробь:
$\frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha\text{tg}\beta}}$
Чтобы упростить эту многоэтажную дробь, умножим числитель на дробь, обратную знаменателю:
$(\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta) \cdot \frac{\text{tg}\alpha\text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta} = \frac{(\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta)\text{tg}\alpha\text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}$.
Ответ: $\frac{(\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta)\text{tg}\alpha\text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}$

4)
Исходное выражение: $(\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha)^2 - (\text{tg}\alpha - \text{ctg}\alpha)^2$.
Это выражение представляет собой разность квадратов вида $a^2 - b^2$, где $a = \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha$ и $b = \text{tg}\alpha - \text{ctg}\alpha$.
Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$.
Найдем сумму $a+b$:
$a+b = (\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha) + (\text{tg}\alpha - \text{ctg}\alpha) = \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha + \text{tg}\alpha - \text{ctg}\alpha = 2\text{tg}\alpha$.
Найдем разность $a-b$:
$a-b = (\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha) - (\text{tg}\alpha - \text{ctg}\alpha) = \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha - \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha = 2\text{ctg}\alpha$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$(a+b)(a-b) = (2\text{tg}\alpha)(2\text{ctg}\alpha) = 4\text{tg}\alpha\text{ctg}\alpha$.
Так как $\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$, то результат равен:
$4 \cdot 1 = 4$.
Ответ: $4$

773. 1) $\frac{1 + \cos2\alpha}{2\cos\alpha}$

2) $\frac{\operatorname{tg}\alpha - \sin\alpha}{\operatorname{tg}\alpha + \sin\alpha}$

3) $\frac{\sin\alpha + \sin3\alpha + \sin5\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha + \cos5\alpha}$

4) $\frac{2\sin2\alpha + \sin4\alpha}{2\sin2\alpha - \sin4\alpha}$

1)

Дано выражение: $ \frac{1 + \cos2\alpha}{2\cos\alpha} $

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 $.

Подставим эту формулу в числитель исходного выражения:

$ \frac{1 + (2\cos^2\alpha - 1)}{2\cos\alpha} = \frac{2\cos^2\alpha}{2\cos\alpha} $

Сократим дробь на $ 2\cos\alpha $ (при условии, что $ \cos\alpha \neq 0 $):

$ \frac{2\cos^2\alpha}{2\cos\alpha} = \cos\alpha $

Ответ: $ \cos\alpha $

2)

Дано выражение: $ \frac{\tg\alpha - \sin\alpha}{\tg\alpha + \sin\alpha} $

Заменим $ \tg\alpha $ на $ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $:

$ \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \sin\alpha}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \sin\alpha} $

Вынесем $ \sin\alpha $ за скобки в числителе и знаменателе (при условии, что $ \sin\alpha \neq 0 $):

$ \frac{\sin\alpha(\frac{1}{\cos\alpha} - 1)}{\sin\alpha(\frac{1}{\cos\alpha} + 1)} = \frac{\frac{1}{\cos\alpha} - 1}{\frac{1}{\cos\alpha} + 1} $

Приведем дроби в числителе и знаменателе к общему знаменателю $ \cos\alpha $:

$ \frac{\frac{1 - \cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{1 + \cos\alpha}{\cos\alpha}} $

Сократим на $ \cos\alpha $ (при условии, что $ \cos\alpha \neq 0 $):

$ \frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha} $

Воспользуемся формулами половинного угла: $ 1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2} $ и $ 1 + \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} $.

$ \frac{2\sin^2\frac{\alpha}{2}}{2\cos^2\frac{\alpha}{2}} = \tg^2\frac{\alpha}{2} $

Ответ: $ \tg^2\frac{\alpha}{2} $

3)

Дано выражение: $ \frac{\sin\alpha + \sin3\alpha + \sin5\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha + \cos5\alpha} $

Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе:

$ \frac{(\sin5\alpha + \sin\alpha) + \sin3\alpha}{(\cos5\alpha + \cos\alpha) + \cos3\alpha} $

Применим формулы суммы синусов и суммы косинусов:
$ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $
$ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $

Для числителя: $ \sin5\alpha + \sin\alpha = 2\sin\frac{5\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-\alpha}{2} = 2\sin3\alpha\cos2\alpha $.
Для знаменателя: $ \cos5\alpha + \cos\alpha = 2\cos\frac{5\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-\alpha}{2} = 2\cos3\alpha\cos2\alpha $.

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$ \frac{2\sin3\alpha\cos2\alpha + \sin3\alpha}{2\cos3\alpha\cos2\alpha + \cos3\alpha} $

Вынесем общие множители $ \sin3\alpha $ в числителе и $ \cos3\alpha $ в знаменателе:

$ \frac{\sin3\alpha(2\cos2\alpha + 1)}{\cos3\alpha(2\cos2\alpha + 1)} $

Сократим дробь на $ (2\cos2\alpha + 1) $ (при условии, что $ 2\cos2\alpha + 1 \neq 0 $):

$ \frac{\sin3\alpha}{\cos3\alpha} = \tg3\alpha $

Ответ: $ \tg3\alpha $

4)

Дано выражение: $ \frac{2\sin2\alpha + \sin4\alpha}{2\sin2\alpha - \sin4\alpha} $

Воспользуемся формулой синуса двойного угла для $ \sin4\alpha $: $ \sin4\alpha = 2\sin2\alpha\cos2\alpha $.

Подставим в исходное выражение:

$ \frac{2\sin2\alpha + 2\sin2\alpha\cos2\alpha}{2\sin2\alpha - 2\sin2\alpha\cos2\alpha} $

Вынесем общий множитель $ 2\sin2\alpha $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ \sin2\alpha \neq 0 $):

$ \frac{2\sin2\alpha(1 + \cos2\alpha)}{2\sin2\alpha(1 - \cos2\alpha)} = \frac{1 + \cos2\alpha}{1 - \cos2\alpha} $

Применим формулы косинуса двойного угла в виде: $ 1 + \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha $ и $ 1 - \cos2\alpha = 2\sin^2\alpha $.

$ \frac{2\cos^2\alpha}{2\sin^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \ctg^2\alpha $

Ответ: $ \ctg^2\alpha $

774. 1) $\frac{\sin 2\alpha + \cos 2\alpha + 2\sin^2 \alpha}{\sin(-\alpha) - \sin(2,5\pi + \alpha)}$

2) $\frac{\cos 2\alpha - \sin 2\alpha - 2\cos^2 \alpha}{\cos(-\alpha) - \cos(2,5\pi + \alpha)}$

1) Рассмотрим выражение $ \frac{\sin2\alpha + \cos2\alpha + 2\sin^2\alpha}{\sin(-\alpha) - \sin(2.5\pi + \alpha)} $.

Сначала упростим числитель: $ \sin2\alpha + \cos2\alpha + 2\sin^2\alpha $.
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha $.
Подставим это в выражение для числителя:
$ \sin2\alpha + (1 - 2\sin^2\alpha) + 2\sin^2\alpha = \sin2\alpha + 1 $.
Теперь преобразуем $ \sin2\alpha + 1 $, используя формулу синуса двойного угла $ \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $ и основное тригонометрическое тождество $ 1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha $:
$ \sin2\alpha + 1 = 2\sin\alpha\cos\alpha + \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 $.

Теперь упростим знаменатель: $ \sin(-\alpha) - \sin(2.5\pi + \alpha) $.
Поскольку синус — нечетная функция, $ \sin(-\alpha) = -\sin\alpha $.
Для второго слагаемого применим формулу приведения. Представим $ 2.5\pi $ как $ 2\pi + \frac{\pi}{2} $.
$ \sin(2.5\pi + \alpha) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos\alpha $.
Тогда знаменатель равен: $ -\sin\alpha - \cos\alpha = -(\sin\alpha + \cos\alpha) $.

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь:
$ \frac{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2}{-(\sin\alpha + \cos\alpha)} = -(\sin\alpha + \cos\alpha) $.

Ответ: $ -(\sin\alpha + \cos\alpha) $

2) Рассмотрим выражение $ \frac{\cos2\alpha - \sin2\alpha - 2\cos^2\alpha}{\cos(-\alpha) - \cos(2.5\pi + \alpha)} $.

Сначала упростим числитель: $ \cos2\alpha - \sin2\alpha - 2\cos^2\alpha $.
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 $.
Подставим это в выражение для числителя:
$ (2\cos^2\alpha - 1) - \sin2\alpha - 2\cos^2\alpha = -1 - \sin2\alpha = -(\sin2\alpha + 1) $.
Как и в предыдущем задании, преобразуем это выражение:
$ -(\sin2\alpha + 1) = -(2\sin\alpha\cos\alpha + \sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = -(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 $.

Теперь упростим знаменатель: $ \cos(-\alpha) - \cos(2.5\pi + \alpha) $.
Поскольку косинус — четная функция, $ \cos(-\alpha) = \cos\alpha $.
Для второго слагаемого применим формулу приведения. Представим $ 2.5\pi $ как $ 2\pi + \frac{\pi}{2} $.
$ \cos(2.5\pi + \alpha) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha $.
Тогда знаменатель равен: $ \cos\alpha - (-\sin\alpha) = \cos\alpha + \sin\alpha $.

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь:
$ \frac{-(\sin\alpha + \cos\alpha)^2}{\sin\alpha + \cos\alpha} = -(\sin\alpha + \cos\alpha) $.

Ответ: $ -(\sin\alpha + \cos\alpha) $

775. Доказать тождество:

1) $\frac{1 - \cos(2\pi - 2\alpha)}{1 - \cos^2(\alpha + \pi)} = 2;$

2) $\frac{\sin^2(\alpha + 90^\circ)}{1 + \sin(-\alpha)} = 1 + \cos(\alpha - 90^\circ).$

1) Доказать тождество: $\frac{1 - \cos(2\pi - 2\alpha)}{1 - \cos^2(\alpha + \pi)} = 2$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя тригонометрические формулы.

Сначала преобразуем числитель дроби: $1 - \cos(2\pi - 2\alpha)$.

Используем формулу приведения для косинуса. Так как функция косинус имеет период $2\pi$, то $\cos(2\pi - x) = \cos(-x)$. Также косинус является четной функцией, поэтому $\cos(-x) = \cos(x)$.

Следовательно, $\cos(2\pi - 2\alpha) = \cos(-2\alpha) = \cos(2\alpha)$.

Теперь числитель имеет вид $1 - \cos(2\alpha)$. Применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$:

$1 - \cos(2\alpha) = 1 - (1 - 2\sin^2(\alpha)) = 1 - 1 + 2\sin^2(\alpha) = 2\sin^2(\alpha)$.

Далее преобразуем знаменатель дроби: $1 - \cos^2(\alpha + \pi)$.

Используем формулу приведения $\cos(\alpha + \pi) = -\cos(\alpha)$. Тогда:

$\cos^2(\alpha + \pi) = (-\cos(\alpha))^2 = \cos^2(\alpha)$.

Знаменатель принимает вид $1 - \cos^2(\alpha)$. Согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, получаем, что $1 - \cos^2(\alpha) = \sin^2(\alpha)$.

Теперь подставим преобразованные выражения для числителя и знаменателя обратно в левую часть исходного равенства:

$\frac{2\sin^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}$.

При условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $\sin^2(\alpha) \neq 0$ (или $\alpha \neq k\pi$, где $k$ — целое число), мы можем сократить дробь:

$\frac{2\sin^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} = 2$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой части: $2 = 2$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Доказать тождество: $\frac{\sin^2(\alpha + 90^\circ)}{1 + \sin(-\alpha)} = 1 + \cos(\alpha - 90^\circ)$.

Для доказательства преобразуем отдельно левую и правую части равенства.

Преобразование левой части: $\frac{\sin^2(\alpha + 90^\circ)}{1 + \sin(-\alpha)}$.

В числителе используем формулу приведения $\sin(\alpha + 90^\circ) = \cos(\alpha)$. Тогда числитель равен $\cos^2(\alpha)$.

В знаменателе используем свойство нечетности функции синус $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$. Тогда знаменатель равен $1 - \sin(\alpha)$.

Левая часть принимает вид: $\frac{\cos^2(\alpha)}{1 - \sin(\alpha)}$.

Применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$:

$\frac{1 - \sin^2(\alpha)}{1 - \sin(\alpha)}$.

Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$\frac{(1 - \sin(\alpha))(1 + \sin(\alpha))}{1 - \sin(\alpha)}$.

При условии, что $1 - \sin(\alpha) \neq 0$ (то есть $\alpha \neq 90^\circ + 360^\circ k$, где $k$ — целое число), сокращаем дробь и получаем:

$1 + \sin(\alpha)$.

Преобразование правой части: $1 + \cos(\alpha - 90^\circ)$.

Используем свойство четности функции косинус $\cos(x) = \cos(-x)$, поэтому $\cos(\alpha - 90^\circ) = \cos(-(\alpha - 90^\circ)) = \cos(90^\circ - \alpha)$.

Теперь применим формулу приведения $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.

Таким образом, правая часть равна $1 + \sin(\alpha)$.

Мы показали, что и левая, и правая части тождества равны одному и тому же выражению $1 + \sin(\alpha)$.

Следовательно, $1 + \sin(\alpha) = 1 + \sin(\alpha)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.