Номер 769, страница 324 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 769, страница 324.

Условие.

769. Известно, что $ \tan \alpha + \cot \alpha = 3 $. Найти $ \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Нам дано тригонометрическое уравнение $tg\,\alpha + ctg\,\alpha = 3$. Необходимо найти значение выражения $tg^2\,\alpha + ctg^2\,\alpha$.

Чтобы найти искомое значение, возведем обе части исходного уравнения в квадрат. Для этого воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a = tg\,\alpha$ и $b = ctg\,\alpha$:
$(tg\,\alpha + ctg\,\alpha)^2 = 3^2$
$tg^2\,\alpha + 2 \cdot tg\,\alpha \cdot ctg\,\alpha + ctg^2\,\alpha = 9$

Мы знаем основное тригонометрическое тождество, которое связывает тангенс и котангенс одного и того же угла: $tg\,\alpha \cdot ctg\,\alpha = 1$, поскольку $ctg\,\alpha = \frac{1}{tg\,\alpha}$.

Подставим это тождество в полученное нами уравнение:
$tg^2\,\alpha + 2 \cdot 1 + ctg^2\,\alpha = 9$
$tg^2\,\alpha + 2 + ctg^2\,\alpha = 9$

Теперь, чтобы найти сумму $tg^2\,\alpha + ctg^2\,\alpha$, перенесем число 2 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$tg^2\,\alpha + ctg^2\,\alpha = 9 - 2$
$tg^2\,\alpha + ctg^2\,\alpha = 7$

Ответ: 7