Номер 776, страница 325 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 776, страница 325.

Условие.

Упростить выражение (776–781).

776.

$\frac{5\cos x - 3\sin x}{\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \sin(-x)} - \frac{\sin 2x - 8\sin^2 x}{\cos 2x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Упростим данное выражение по частям.

Сначала преобразуем знаменатель первой дроби, используя формулы приведения и свойство нечетности функции синус: $ \sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x $ и $ \sin(-x) = -\sin x $.

Таким образом, знаменатель первой дроби принимает вид: $ \sin(\frac{\pi}{2} - x) + \sin(-x) = \cos x - \sin x $.

Теперь исходное выражение можно записать как:

$$ \frac{5\cos x - 3\sin x}{\cos x - \sin x} - \frac{\sin 2x - 8\sin^2 x}{\cos 2x} $$

Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Знаменатель второй дроби можно представить с помощью формулы косинуса двойного угла: $ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) $.

Видно, что общий знаменатель — это $ \cos 2x $. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на множитель $ (\cos x + \sin x) $:

$$ \frac{(5\cos x - 3\sin x)(\cos x + \sin x)}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)} = \frac{5\cos^2 x + 5\cos x \sin x - 3\sin x \cos x - 3\sin^2 x}{\cos 2x} = \frac{5\cos^2 x + 2\sin x \cos x - 3\sin^2 x}{\cos 2x} $$

Теперь выполним вычитание дробей:

$$ \frac{5\cos^2 x + 2\sin x \cos x - 3\sin^2 x}{\cos 2x} - \frac{\sin 2x - 8\sin^2 x}{\cos 2x} = \frac{5\cos^2 x + 2\sin x \cos x - 3\sin^2 x - (\sin 2x - 8\sin^2 x)}{\cos 2x} $$

Упростим числитель полученной дроби. Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $:

$ 5\cos^2 x + 2\sin x \cos x - 3\sin^2 x - (2\sin x \cos x - 8\sin^2 x) = 5\cos^2 x + 2\sin x \cos x - 3\sin^2 x - 2\sin x \cos x + 8\sin^2 x $.

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ (5\cos^2 x) + (2\sin x \cos x - 2\sin x \cos x) + (-3\sin^2 x + 8\sin^2 x) = 5\cos^2 x + 0 + 5\sin^2 x = 5\cos^2 x + 5\sin^2 x $.

Вынесем общий множитель 5 за скобки и применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $:

$ 5(\cos^2 x + \sin^2 x) = 5 \cdot 1 = 5 $.

В результате все выражение сводится к:

$$ \frac{5}{\cos 2x} $$

Ответ: $ \frac{5}{\cos 2x} $.