Номер 777, страница 325 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 777, страница 325.

Условие.

777. $\sin(x - 2\pi)\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) + \tg(\pi - x)\tg\left(\frac{3\pi}{2} + x\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

777.

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения и основными тригонометрическими тождествами. Исходное выражение: $sin(x - 2\pi)cos(\frac{3\pi}{2} - x) + tg(\pi - x)tg(\frac{3\pi}{2} + x)$.

Преобразуем каждый тригонометрический член выражения по отдельности:

1. $sin(x - 2\pi)$. Функция синус является периодической с периодом $2\pi$, поэтому $sin(x - 2\pi) = sin(x)$.

2. $cos(\frac{3\pi}{2} - x)$. По формуле приведения, для угла $(\frac{3\pi}{2} - x)$, который находится в третьей координатной четверти, значение косинуса отрицательно. Так как в аргументе присутствует $\frac{3\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию, то есть косинус на синус. Следовательно, $cos(\frac{3\pi}{2} - x) = -sin(x)$.

3. $tg(\pi - x)$. По формуле приведения, для угла $(\pi - x)$, который находится во второй координатной четверти, значение тангенса отрицательно. Так как в аргументе присутствует $\pi$, название функции не меняется. Следовательно, $tg(\pi - x) = -tg(x)$.

4. $tg(\frac{3\pi}{2} + x)$. По формуле приведения, для угла $(\frac{3\pi}{2} + x)$, который находится в четвертой координатной четверти, значение тангенса отрицательно. Так как в аргументе присутствует $\frac{3\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию, то есть тангенс на котангенс. Следовательно, $tg(\frac{3\pi}{2} + x) = -ctg(x)$.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$sin(x) \cdot (-sin(x)) + (-tg(x)) \cdot (-ctg(x))$

Выполним умножение в каждом слагаемом:

$-sin^2(x) + tg(x) \cdot ctg(x)$

Используем тождество $tg(x) \cdot ctg(x) = 1$. Выражение принимает вид:

$-sin^2(x) + 1$

Применим основное тригонометрическое тождество $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$, из которого следует, что $cos^2(x) = 1 - sin^2(x)$.

Таким образом, выражение $1 - sin^2(x)$ равно $cos^2(x)$.

Ответ: $cos^2(x)$