Номер 784, страница 325 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 784, страница 325.

Условие.

Доказать тождество (784-790).

784. $\frac{\operatorname{tg}(\alpha-\beta)+\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}(\alpha+\beta)-\operatorname{tg}\beta} = \frac{\cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

784.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, используя определение тангенса и формулы сложения и вычитания углов для синуса.

Исходное тождество:

$$ \frac{\text{tg}(\alpha - \beta) + \text{tg}\beta}{\text{tg}(\alpha + \beta) - \text{tg}\beta} = \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} $$

Рассмотрим левую часть (ЛЧ) и выразим тангенсы через синусы и косинусы по формуле $ \text{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x} $:

ЛЧ = $ \frac{\frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta}}{\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} - \frac{\sin\beta}{\cos\beta}} $

Приведем к общему знаменателю выражения в числителе и знаменателе дроби.

Преобразуем числитель:

$ \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} + \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\sin(\alpha - \beta)\cos\beta + \cos(\alpha - \beta)\sin\beta}{\cos(\alpha - \beta)\cos\beta} $

В числителе полученной дроби мы видим формулу синуса суммы углов $ \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $. Применим ее, где $ A = \alpha - \beta $ и $ B = \beta $:

$ \sin((\alpha - \beta) + \beta) = \sin\alpha $

Таким образом, числитель исходной дроби равен:

$ \frac{\sin\alpha}{\cos(\alpha - \beta)\cos\beta} $

Теперь преобразуем знаменатель:

$ \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} - \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\sin(\alpha + \beta)\cos\beta - \cos(\alpha + \beta)\sin\beta}{\cos(\alpha + \beta)\cos\beta} $

В числителе этой дроби мы видим формулу синуса разности углов $ \sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $. Применим ее, где $ A = \alpha + \beta $ и $ B = \beta $:

$ \sin((\alpha + \beta) - \beta) = \sin\alpha $

Таким образом, знаменатель исходной дроби равен:

$ \frac{\sin\alpha}{\cos(\alpha + \beta)\cos\beta} $

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в левую часть тождества:

ЛЧ = $ \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos(\alpha - \beta)\cos\beta}}{\frac{\sin\alpha}{\cos(\alpha + \beta)\cos\beta}} $

Для деления дробей, умножим верхнюю дробь на перевернутую нижнюю:

ЛЧ = $ \frac{\sin\alpha}{\cos(\alpha - \beta)\cos\beta} \cdot \frac{\cos(\alpha + \beta)\cos\beta}{\sin\alpha} $

Сокращаем общие множители $ \sin\alpha $ и $ \cos\beta $ (исходя из области допустимых значений исходного выражения):

ЛЧ = $ \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} $

В результате преобразований мы получили, что левая часть тождества равна его правой части (ПЧ).
ЛЧ = ПЧ

Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.