Номер 788, страница 325 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 788, страница 325.

Условие.

788. $1 + \cos\alpha + \cos2\alpha = 4\cos\alpha\cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства данного тождества преобразуем отдельно его левую и правую части, чтобы показать, что они равны одному и тому же выражению.

Преобразование левой части (ЛЧ)

Начнем с выражения в левой части тождества:

ЛЧ = $1 + \cos\alpha + \cos2\alpha$

Применим формулу косинуса двойного угла: $\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$.

Подставим эту формулу в выражение для левой части:

ЛЧ = $1 + \cos\alpha + (2\cos^2\alpha - 1)$

Упростим, сократив единицы:

ЛЧ = $\cos\alpha + 2\cos^2\alpha$

Преобразование правой части (ПЧ)

Теперь рассмотрим выражение в правой части тождества:

ПЧ = $4\cos\alpha\cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right)$

Сгруппируем множители и применим формулу преобразования произведения косинусов в сумму $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$.

ПЧ = $2\cos\alpha \cdot \left[ 2\cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right) \right]$

Преобразуем выражение в квадратных скобках:

$2\cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right) = \cos\left(\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right) + \left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right)\right) + \cos\left(\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right) - \left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right)\right)$

Упростим аргументы косинусов:

$= \cos\left(\frac{2\pi}{6}\right) + \cos\left(\frac{2\alpha}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos\alpha$

Мы знаем значение $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$. Подставим его:

$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos\alpha = \frac{1}{2} + \cos\alpha$

Теперь подставим полученное выражение обратно в формулу для правой части:

ПЧ = $2\cos\alpha \left( \frac{1}{2} + \cos\alpha \right)$

Раскроем скобки:

ПЧ = $2\cos\alpha \cdot \frac{1}{2} + 2\cos\alpha \cdot \cos\alpha = \cos\alpha + 2\cos^2\alpha$

Заключение

Мы получили, что левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению:

ЛЧ = $\cos\alpha + 2\cos^2\alpha$

ПЧ = $\cos\alpha + 2\cos^2\alpha$

Поскольку ЛЧ = ПЧ, исходное тождество является верным.

Ответ: Тождество доказано.