Номер 791, страница 326 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 791, страница 326.

Условие.

791. Записать в тригонометрической форме число:

1) 2;

2) -3;

3) $3i$;

4) $-2i$;

5) $\sqrt{3}-i$;

6) $2-2i$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для представления комплексного числа $z = x + iy$ в тригонометрической форме $z = r(\cos \phi + i \sin \phi)$ необходимо найти его модуль $r$ и аргумент $\phi$.

Модуль $r$ вычисляется по формуле: $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Аргумент $\phi$ — это угол, который можно найти из системы уравнений:$ \begin{cases} \cos \phi = \frac{x}{r} \\ \sin \phi = \frac{y}{r} \end{cases} $

1) Дано число $z = 2$.

Это действительное число, его можно представить в виде $z = 2 + 0i$. Здесь действительная часть $x=2$, а мнимая часть $y=0$.

Найдем модуль числа:

$r = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент числа:

$\cos \phi = \frac{x}{r} = \frac{2}{2} = 1$

$\sin \phi = \frac{y}{r} = \frac{0}{2} = 0$

Угол, для которого косинус равен 1, а синус равен 0, это $\phi = 0$.

Таким образом, тригонометрическая форма числа: $z = 2(\cos 0 + i \sin 0)$.

Ответ: $2(\cos 0 + i \sin 0)$.

2) Дано число $z = -3$.

Представим число в виде $z = -3 + 0i$. Здесь $x=-3$, $y=0$.

Найдем модуль числа:

$r = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$.

Найдем аргумент числа:

$\cos \phi = \frac{x}{r} = \frac{-3}{3} = -1$

$\sin \phi = \frac{y}{r} = \frac{0}{3} = 0$

Угол, для которого косинус равен -1, а синус равен 0, это $\phi = \pi$.

Тригонометрическая форма числа: $z = 3(\cos \pi + i \sin \pi)$.

Ответ: $3(\cos \pi + i \sin \pi)$.

3) Дано число $z = 3i$.

Представим число в виде $z = 0 + 3i$. Здесь $x=0$, $y=3$.

Найдем модуль числа:

$r = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3$.

Найдем аргумент числа:

$\cos \phi = \frac{x}{r} = \frac{0}{3} = 0$

$\sin \phi = \frac{y}{r} = \frac{3}{3} = 1$

Угол, для которого косинус равен 0, а синус равен 1, это $\phi = \frac{\pi}{2}$.

Тригонометрическая форма числа: $z = 3(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})$.

Ответ: $3(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})$.

4) Дано число $z = -2i$.

Представим число в виде $z = 0 - 2i$. Здесь $x=0$, $y=-2$.

Найдем модуль числа:

$r = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент числа:

$\cos \phi = \frac{x}{r} = \frac{0}{2} = 0$

$\sin \phi = \frac{y}{r} = \frac{-2}{2} = -1$

Угол, для которого косинус равен 0, а синус равен -1, это $\phi = -\frac{\pi}{2}$ (или $\frac{3\pi}{2}$).

Тригонометрическая форма числа: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}))$.

Ответ: $2(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}))$.

5) Дано число $z = \sqrt{3} - i$.

Здесь действительная часть $x=\sqrt{3}$, а мнимая часть $y=-1$.

Найдем модуль числа:

$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент числа:

$\cos \phi = \frac{x}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \phi = \frac{y}{r} = \frac{-1}{2}$

Точка на комплексной плоскости находится в IV четверти. Угол, для которого косинус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, а синус равен $-\frac{1}{2}$, это $\phi = -\frac{\pi}{6}$.

Тригонометрическая форма числа: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}))$.

Ответ: $2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}))$.

6) Дано число $z = 2 - 2i$.

Здесь действительная часть $x=2$, а мнимая часть $y=-2$.

Найдем модуль числа:

$r = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Найдем аргумент числа:

$\cos \phi = \frac{x}{r} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin \phi = \frac{y}{r} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Точка на комплексной плоскости находится в IV четверти. Угол, для которого косинус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, а синус равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, это $\phi = -\frac{\pi}{4}$.

Тригонометрическая форма числа: $z = 2\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i \sin(-\frac{\pi}{4}))$.

Ответ: $2\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i \sin(-\frac{\pi}{4}))$.