Номер 791, страница 326 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 791, страница 326.
№791 (с. 326)
Условие. №791 (с. 326)
скриншот условия

791. Записать в тригонометрической форме число:
1) 2;
2) -3;
3) $3i$;
4) $-2i$;
5) $\sqrt{3}-i$;
6) $2-2i$.
Решение 1. №791 (с. 326)






Решение 2. №791 (с. 326)


Решение 3. №791 (с. 326)
Для представления комплексного числа $z = x + iy$ в тригонометрической форме $z = r(\cos \phi + i \sin \phi)$ необходимо найти его модуль $r$ и аргумент $\phi$.
Модуль $r$ вычисляется по формуле: $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Аргумент $\phi$ — это угол, который можно найти из системы уравнений:$ \begin{cases} \cos \phi = \frac{x}{r} \\ \sin \phi = \frac{y}{r} \end{cases} $
1) Дано число $z = 2$.
Это действительное число, его можно представить в виде $z = 2 + 0i$. Здесь действительная часть $x=2$, а мнимая часть $y=0$.
Найдем модуль числа:
$r = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.
Найдем аргумент числа:
$\cos \phi = \frac{x}{r} = \frac{2}{2} = 1$
$\sin \phi = \frac{y}{r} = \frac{0}{2} = 0$
Угол, для которого косинус равен 1, а синус равен 0, это $\phi = 0$.
Таким образом, тригонометрическая форма числа: $z = 2(\cos 0 + i \sin 0)$.
Ответ: $2(\cos 0 + i \sin 0)$.
2) Дано число $z = -3$.
Представим число в виде $z = -3 + 0i$. Здесь $x=-3$, $y=0$.
Найдем модуль числа:
$r = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$.
Найдем аргумент числа:
$\cos \phi = \frac{x}{r} = \frac{-3}{3} = -1$
$\sin \phi = \frac{y}{r} = \frac{0}{3} = 0$
Угол, для которого косинус равен -1, а синус равен 0, это $\phi = \pi$.
Тригонометрическая форма числа: $z = 3(\cos \pi + i \sin \pi)$.
Ответ: $3(\cos \pi + i \sin \pi)$.
3) Дано число $z = 3i$.
Представим число в виде $z = 0 + 3i$. Здесь $x=0$, $y=3$.
Найдем модуль числа:
$r = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3$.
Найдем аргумент числа:
$\cos \phi = \frac{x}{r} = \frac{0}{3} = 0$
$\sin \phi = \frac{y}{r} = \frac{3}{3} = 1$
Угол, для которого косинус равен 0, а синус равен 1, это $\phi = \frac{\pi}{2}$.
Тригонометрическая форма числа: $z = 3(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})$.
Ответ: $3(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})$.
4) Дано число $z = -2i$.
Представим число в виде $z = 0 - 2i$. Здесь $x=0$, $y=-2$.
Найдем модуль числа:
$r = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2$.
Найдем аргумент числа:
$\cos \phi = \frac{x}{r} = \frac{0}{2} = 0$
$\sin \phi = \frac{y}{r} = \frac{-2}{2} = -1$
Угол, для которого косинус равен 0, а синус равен -1, это $\phi = -\frac{\pi}{2}$ (или $\frac{3\pi}{2}$).
Тригонометрическая форма числа: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}))$.
Ответ: $2(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}))$.
5) Дано число $z = \sqrt{3} - i$.
Здесь действительная часть $x=\sqrt{3}$, а мнимая часть $y=-1$.
Найдем модуль числа:
$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
Найдем аргумент числа:
$\cos \phi = \frac{x}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin \phi = \frac{y}{r} = \frac{-1}{2}$
Точка на комплексной плоскости находится в IV четверти. Угол, для которого косинус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, а синус равен $-\frac{1}{2}$, это $\phi = -\frac{\pi}{6}$.
Тригонометрическая форма числа: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}))$.
Ответ: $2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}))$.
6) Дано число $z = 2 - 2i$.
Здесь действительная часть $x=2$, а мнимая часть $y=-2$.
Найдем модуль числа:
$r = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Найдем аргумент числа:
$\cos \phi = \frac{x}{r} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin \phi = \frac{y}{r} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Точка на комплексной плоскости находится в IV четверти. Угол, для которого косинус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, а синус равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, это $\phi = -\frac{\pi}{4}$.
Тригонометрическая форма числа: $z = 2\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i \sin(-\frac{\pi}{4}))$.
Ответ: $2\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i \sin(-\frac{\pi}{4}))$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 791 расположенного на странице 326 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №791 (с. 326), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.