Номер 786, страница 325 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 786, страница 325.

Условие.

786. 1) $\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) - \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \cos\alpha;$

2) $\cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = \sqrt{3} \cos\alpha.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Для доказательства тождества $ \sin(\alpha + \frac{\pi}{3}) - \sin(\alpha - \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}\cos\alpha $ преобразуем его левую часть, применив формулу разности синусов: $ \sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2} $.

В данном случае $ x = \alpha + \frac{\pi}{3} $ и $ y = \alpha - \frac{\pi}{3} $.

Вычислим аргументы для синуса и косинуса в формуле:

$ \frac{x-y}{2} = \frac{(\alpha + \frac{\pi}{3}) - (\alpha - \frac{\pi}{3})}{2} = \frac{\alpha + \frac{\pi}{3} - \alpha + \frac{\pi}{3}}{2} = \frac{2\pi/3}{2} = \frac{\pi}{3} $

$ \frac{x+y}{2} = \frac{(\alpha + \frac{\pi}{3}) + (\alpha - \frac{\pi}{3})}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha $

Теперь подставим найденные значения обратно в формулу разности синусов:

$ \sin(\alpha + \frac{\pi}{3}) - \sin(\alpha - \frac{\pi}{3}) = 2\sin\frac{\pi}{3}\cos\alpha $

Поскольку значение $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, мы получаем:

$ 2\sin\frac{\pi}{3}\cos\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha $

В результате преобразований мы показали, что левая часть тождества равна правой: $ \sqrt{3}\cos\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha $. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества $ \cos(\frac{\pi}{6} + \alpha) + \cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) = \sqrt{3}\cos\alpha $ преобразуем его левую часть, применив формулу суммы косинусов: $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $.

В данном случае $ x = \frac{\pi}{6} + \alpha $ и $ y = \frac{\pi}{6} - \alpha $.

Вычислим аргументы для косинусов в формуле:

$ \frac{x+y}{2} = \frac{(\frac{\pi}{6} + \alpha) + (\frac{\pi}{6} - \alpha)}{2} = \frac{2\pi/6}{2} = \frac{\pi/3}{2} = \frac{\pi}{6} $

$ \frac{x-y}{2} = \frac{(\frac{\pi}{6} + \alpha) - (\frac{\pi}{6} - \alpha)}{2} = \frac{\frac{\pi}{6} + \alpha - \frac{\pi}{6} + \alpha}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha $

Теперь подставим найденные значения обратно в формулу суммы косинусов:

$ \cos(\frac{\pi}{6} + \alpha) + \cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) = 2\cos\frac{\pi}{6}\cos\alpha $

Поскольку значение $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, мы получаем:

$ 2\cos\frac{\pi}{6}\cos\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha $

В результате преобразований мы показали, что левая часть тождества равна правой: $ \sqrt{3}\cos\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha $. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.