Номер 786, страница 325 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 786, страница 325.
№786 (с. 325)
Условие. №786 (с. 325)
скриншот условия

786. 1) $\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) - \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \cos\alpha;$
2) $\cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = \sqrt{3} \cos\alpha.$
Решение 1. №786 (с. 325)


Решение 2. №786 (с. 325)

Решение 3. №786 (с. 325)
1)
Для доказательства тождества $ \sin(\alpha + \frac{\pi}{3}) - \sin(\alpha - \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}\cos\alpha $ преобразуем его левую часть, применив формулу разности синусов: $ \sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2} $.
В данном случае $ x = \alpha + \frac{\pi}{3} $ и $ y = \alpha - \frac{\pi}{3} $.
Вычислим аргументы для синуса и косинуса в формуле:
$ \frac{x-y}{2} = \frac{(\alpha + \frac{\pi}{3}) - (\alpha - \frac{\pi}{3})}{2} = \frac{\alpha + \frac{\pi}{3} - \alpha + \frac{\pi}{3}}{2} = \frac{2\pi/3}{2} = \frac{\pi}{3} $
$ \frac{x+y}{2} = \frac{(\alpha + \frac{\pi}{3}) + (\alpha - \frac{\pi}{3})}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha $
Теперь подставим найденные значения обратно в формулу разности синусов:
$ \sin(\alpha + \frac{\pi}{3}) - \sin(\alpha - \frac{\pi}{3}) = 2\sin\frac{\pi}{3}\cos\alpha $
Поскольку значение $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, мы получаем:
$ 2\sin\frac{\pi}{3}\cos\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha $
В результате преобразований мы показали, что левая часть тождества равна правой: $ \sqrt{3}\cos\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha $. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.
2)
Для доказательства тождества $ \cos(\frac{\pi}{6} + \alpha) + \cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) = \sqrt{3}\cos\alpha $ преобразуем его левую часть, применив формулу суммы косинусов: $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $.
В данном случае $ x = \frac{\pi}{6} + \alpha $ и $ y = \frac{\pi}{6} - \alpha $.
Вычислим аргументы для косинусов в формуле:
$ \frac{x+y}{2} = \frac{(\frac{\pi}{6} + \alpha) + (\frac{\pi}{6} - \alpha)}{2} = \frac{2\pi/6}{2} = \frac{\pi/3}{2} = \frac{\pi}{6} $
$ \frac{x-y}{2} = \frac{(\frac{\pi}{6} + \alpha) - (\frac{\pi}{6} - \alpha)}{2} = \frac{\frac{\pi}{6} + \alpha - \frac{\pi}{6} + \alpha}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha $
Теперь подставим найденные значения обратно в формулу суммы косинусов:
$ \cos(\frac{\pi}{6} + \alpha) + \cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) = 2\cos\frac{\pi}{6}\cos\alpha $
Поскольку значение $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, мы получаем:
$ 2\cos\frac{\pi}{6}\cos\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha $
В результате преобразований мы показали, что левая часть тождества равна правой: $ \sqrt{3}\cos\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha $. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 786 расположенного на странице 325 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №786 (с. 325), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.