Номер 779, страница 325 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 779, страница 325.

Условие.

779. 1) $\frac{\cos 4\alpha - \cos 2\alpha}{\sin 3\alpha \sin \alpha}$;

2) $\frac{1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha}{\cos \alpha + 2\cos^2 \alpha - 1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Чтобы упростить выражение $\frac{\cos(4\alpha) - \cos(2\alpha)}{\sin(3\alpha)\sin(\alpha)}$, воспользуемся тригонометрическими формулами.

В числителе применим формулу разности косинусов: $\cos(x) - \cos(y) = -2\sin(\frac{x+y}{2})\sin(\frac{x-y}{2})$.

Подставляем $x = 4\alpha$ и $y = 2\alpha$:

$\cos(4\alpha) - \cos(2\alpha) = -2\sin(\frac{4\alpha+2\alpha}{2})\sin(\frac{4\alpha-2\alpha}{2}) = -2\sin(\frac{6\alpha}{2})\sin(\frac{2\alpha}{2}) = -2\sin(3\alpha)\sin(\alpha)$.

Теперь подставим полученное выражение для числителя обратно в исходную дробь:

$\frac{-2\sin(3\alpha)\sin(\alpha)}{\sin(3\alpha)\sin(\alpha)}$

При условии, что $\sin(3\alpha) \neq 0$ и $\sin(\alpha) \neq 0$, мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе.

$\frac{-2\cancel{\sin(3\alpha)}\cancel{\sin(\alpha)}}{\cancel{\sin(3\alpha)}\cancel{\sin(\alpha)}} = -2$

Ответ: -2

2)

Упростим выражение $\frac{1 + \cos(\alpha) + \cos(2\alpha) + \cos(3\alpha)}{\cos(\alpha) + 2\cos^2(\alpha) - 1}$.

Преобразуем отдельно числитель и знаменатель.

Числитель: $1 + \cos(\alpha) + \cos(2\alpha) + \cos(3\alpha)$.
Сгруппируем слагаемые: $(1 + \cos(2\alpha)) + (\cos(\alpha) + \cos(3\alpha))$.
Используем формулу косинуса двойного угла $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha)$.
Используем формулу суммы косинусов $\cos(x) + \cos(y) = 2\cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})$:
$\cos(3\alpha) + \cos(\alpha) = 2\cos(\frac{3\alpha+\alpha}{2})\cos(\frac{3\alpha-\alpha}{2}) = 2\cos(2\alpha)\cos(\alpha)$.
Таким образом, числитель равен: $2\cos^2(\alpha) + 2\cos(2\alpha)\cos(\alpha)$.
Вынесем общий множитель $2\cos(\alpha)$ за скобки: $2\cos(\alpha)(\cos(\alpha) + \cos(2\alpha))$.

Знаменатель: $\cos(\alpha) + 2\cos^2(\alpha) - 1$.
Используем формулу косинуса двойного угла $2\cos^2(\alpha) - 1 = \cos(2\alpha)$.
Таким образом, знаменатель равен: $\cos(\alpha) + \cos(2\alpha)$.

Теперь подставим преобразованные части обратно в дробь:

$\frac{2\cos(\alpha)(\cos(\alpha) + \cos(2\alpha))}{\cos(\alpha) + \cos(2\alpha)}$

При условии, что $\cos(\alpha) + \cos(2\alpha) \neq 0$, сокращаем дробь на этот множитель:

$\frac{2\cos(\alpha)\cancel{(\cos(\alpha) + \cos(2\alpha))}}{\cancel{\cos(\alpha) + \cos(2\alpha)}} = 2\cos(\alpha)$

Ответ: $2\cos(\alpha)$