Номер 775, страница 324 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 775, страница 324.

Условие.

775. Доказать тождество:

1) $\frac{1 - \cos(2\pi - 2\alpha)}{1 - \cos^2(\alpha + \pi)} = 2;$

2) $\frac{\sin^2(\alpha + 90^\circ)}{1 + \sin(-\alpha)} = 1 + \cos(\alpha - 90^\circ).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Доказать тождество: $\frac{1 - \cos(2\pi - 2\alpha)}{1 - \cos^2(\alpha + \pi)} = 2$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя тригонометрические формулы.

Сначала преобразуем числитель дроби: $1 - \cos(2\pi - 2\alpha)$.

Используем формулу приведения для косинуса. Так как функция косинус имеет период $2\pi$, то $\cos(2\pi - x) = \cos(-x)$. Также косинус является четной функцией, поэтому $\cos(-x) = \cos(x)$.

Следовательно, $\cos(2\pi - 2\alpha) = \cos(-2\alpha) = \cos(2\alpha)$.

Теперь числитель имеет вид $1 - \cos(2\alpha)$. Применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$:

$1 - \cos(2\alpha) = 1 - (1 - 2\sin^2(\alpha)) = 1 - 1 + 2\sin^2(\alpha) = 2\sin^2(\alpha)$.

Далее преобразуем знаменатель дроби: $1 - \cos^2(\alpha + \pi)$.

Используем формулу приведения $\cos(\alpha + \pi) = -\cos(\alpha)$. Тогда:

$\cos^2(\alpha + \pi) = (-\cos(\alpha))^2 = \cos^2(\alpha)$.

Знаменатель принимает вид $1 - \cos^2(\alpha)$. Согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, получаем, что $1 - \cos^2(\alpha) = \sin^2(\alpha)$.

Теперь подставим преобразованные выражения для числителя и знаменателя обратно в левую часть исходного равенства:

$\frac{2\sin^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}$.

При условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $\sin^2(\alpha) \neq 0$ (или $\alpha \neq k\pi$, где $k$ — целое число), мы можем сократить дробь:

$\frac{2\sin^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} = 2$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой части: $2 = 2$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Доказать тождество: $\frac{\sin^2(\alpha + 90^\circ)}{1 + \sin(-\alpha)} = 1 + \cos(\alpha - 90^\circ)$.

Для доказательства преобразуем отдельно левую и правую части равенства.

Преобразование левой части: $\frac{\sin^2(\alpha + 90^\circ)}{1 + \sin(-\alpha)}$.

В числителе используем формулу приведения $\sin(\alpha + 90^\circ) = \cos(\alpha)$. Тогда числитель равен $\cos^2(\alpha)$.

В знаменателе используем свойство нечетности функции синус $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$. Тогда знаменатель равен $1 - \sin(\alpha)$.

Левая часть принимает вид: $\frac{\cos^2(\alpha)}{1 - \sin(\alpha)}$.

Применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$:

$\frac{1 - \sin^2(\alpha)}{1 - \sin(\alpha)}$.

Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$\frac{(1 - \sin(\alpha))(1 + \sin(\alpha))}{1 - \sin(\alpha)}$.

При условии, что $1 - \sin(\alpha) \neq 0$ (то есть $\alpha \neq 90^\circ + 360^\circ k$, где $k$ — целое число), сокращаем дробь и получаем:

$1 + \sin(\alpha)$.

Преобразование правой части: $1 + \cos(\alpha - 90^\circ)$.

Используем свойство четности функции косинус $\cos(x) = \cos(-x)$, поэтому $\cos(\alpha - 90^\circ) = \cos(-(\alpha - 90^\circ)) = \cos(90^\circ - \alpha)$.

Теперь применим формулу приведения $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.

Таким образом, правая часть равна $1 + \sin(\alpha)$.

Мы показали, что и левая, и правая части тождества равны одному и тому же выражению $1 + \sin(\alpha)$.

Следовательно, $1 + \sin(\alpha) = 1 + \sin(\alpha)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.