Номер 775, страница 324 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 775, страница 324.
№775 (с. 324)
Условие. №775 (с. 324)
скриншот условия

775. Доказать тождество:
1) $\frac{1 - \cos(2\pi - 2\alpha)}{1 - \cos^2(\alpha + \pi)} = 2;$
2) $\frac{\sin^2(\alpha + 90^\circ)}{1 + \sin(-\alpha)} = 1 + \cos(\alpha - 90^\circ).$
Решение 1. №775 (с. 324)


Решение 2. №775 (с. 324)

Решение 3. №775 (с. 324)
1) Доказать тождество: $\frac{1 - \cos(2\pi - 2\alpha)}{1 - \cos^2(\alpha + \pi)} = 2$.
Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя тригонометрические формулы.
Сначала преобразуем числитель дроби: $1 - \cos(2\pi - 2\alpha)$.
Используем формулу приведения для косинуса. Так как функция косинус имеет период $2\pi$, то $\cos(2\pi - x) = \cos(-x)$. Также косинус является четной функцией, поэтому $\cos(-x) = \cos(x)$.
Следовательно, $\cos(2\pi - 2\alpha) = \cos(-2\alpha) = \cos(2\alpha)$.
Теперь числитель имеет вид $1 - \cos(2\alpha)$. Применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$:
$1 - \cos(2\alpha) = 1 - (1 - 2\sin^2(\alpha)) = 1 - 1 + 2\sin^2(\alpha) = 2\sin^2(\alpha)$.
Далее преобразуем знаменатель дроби: $1 - \cos^2(\alpha + \pi)$.
Используем формулу приведения $\cos(\alpha + \pi) = -\cos(\alpha)$. Тогда:
$\cos^2(\alpha + \pi) = (-\cos(\alpha))^2 = \cos^2(\alpha)$.
Знаменатель принимает вид $1 - \cos^2(\alpha)$. Согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, получаем, что $1 - \cos^2(\alpha) = \sin^2(\alpha)$.
Теперь подставим преобразованные выражения для числителя и знаменателя обратно в левую часть исходного равенства:
$\frac{2\sin^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}$.
При условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $\sin^2(\alpha) \neq 0$ (или $\alpha \neq k\pi$, где $k$ — целое число), мы можем сократить дробь:
$\frac{2\sin^2(\alpha)}{\sin^2(\alpha)} = 2$.
Таким образом, левая часть тождества равна правой части: $2 = 2$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.
2) Доказать тождество: $\frac{\sin^2(\alpha + 90^\circ)}{1 + \sin(-\alpha)} = 1 + \cos(\alpha - 90^\circ)$.
Для доказательства преобразуем отдельно левую и правую части равенства.
Преобразование левой части: $\frac{\sin^2(\alpha + 90^\circ)}{1 + \sin(-\alpha)}$.
В числителе используем формулу приведения $\sin(\alpha + 90^\circ) = \cos(\alpha)$. Тогда числитель равен $\cos^2(\alpha)$.
В знаменателе используем свойство нечетности функции синус $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$. Тогда знаменатель равен $1 - \sin(\alpha)$.
Левая часть принимает вид: $\frac{\cos^2(\alpha)}{1 - \sin(\alpha)}$.
Применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$:
$\frac{1 - \sin^2(\alpha)}{1 - \sin(\alpha)}$.
Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$\frac{(1 - \sin(\alpha))(1 + \sin(\alpha))}{1 - \sin(\alpha)}$.
При условии, что $1 - \sin(\alpha) \neq 0$ (то есть $\alpha \neq 90^\circ + 360^\circ k$, где $k$ — целое число), сокращаем дробь и получаем:
$1 + \sin(\alpha)$.
Преобразование правой части: $1 + \cos(\alpha - 90^\circ)$.
Используем свойство четности функции косинус $\cos(x) = \cos(-x)$, поэтому $\cos(\alpha - 90^\circ) = \cos(-(\alpha - 90^\circ)) = \cos(90^\circ - \alpha)$.
Теперь применим формулу приведения $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.
Таким образом, правая часть равна $1 + \sin(\alpha)$.
Мы показали, что и левая, и правая части тождества равны одному и тому же выражению $1 + \sin(\alpha)$.
Следовательно, $1 + \sin(\alpha) = 1 + \sin(\alpha)$, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 775 расположенного на странице 324 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №775 (с. 324), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.