Номер 772, страница 324 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 772, страница 324.

Условие.

772. 1) $\frac{\text{tg}^2\alpha}{1+\text{ctg}^2\alpha}$;

2) $\frac{1+\text{ctg}^2\alpha}{\text{ctg}^2\alpha}$;

3) $\frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta}$;

4) $(\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha)^2 - (\text{tg}\alpha - \text{ctg}\alpha)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)
Исходное выражение: $\frac{\text{tg}^2\alpha}{1 + \text{ctg}^2\alpha}$.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$.
Подставим это тождество в знаменатель исходного выражения:
$\frac{\text{tg}^2\alpha}{\frac{1}{\sin^2\alpha}}$
Теперь упростим полученную дробь, умножив числитель на $\sin^2\alpha$:
$\text{tg}^2\alpha \cdot \sin^2\alpha$
Заменим тангенс через отношение синуса к косинусу: $\text{tg}^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$.
Получим: $\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} \cdot \sin^2\alpha = \frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha}$.
Ответ: $\frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha}$

2)
Исходное выражение: $\frac{1 + \text{ctg}^2\alpha}{\text{ctg}^2\alpha}$.
Разделим числитель почленно на знаменатель:
$\frac{1}{\text{ctg}^2\alpha} + \frac{\text{ctg}^2\alpha}{\text{ctg}^2\alpha}$
Используя тождество $\frac{1}{\text{ctg}\alpha} = \text{tg}\alpha$, получим:
$\text{tg}^2\alpha + 1$
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.
Таким образом, выражение равно $\frac{1}{\cos^2\alpha}$.
Ответ: $\frac{1}{\cos^2\alpha}$

3)
Исходное выражение: $\frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta}$.
Заменим котангенсы в знаменателе через тангенсы, используя тождество $\text{ctg}x = \frac{1}{\text{tg}x}$:
$\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta = \frac{1}{\text{tg}\alpha} + \frac{1}{\text{tg}\beta}$
Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю:
$\frac{1}{\text{tg}\alpha} + \frac{1}{\text{tg}\beta} = \frac{\text{tg}\beta + \text{tg}\alpha}{\text{tg}\alpha\text{tg}\beta}$
Теперь подставим это выражение обратно в исходную дробь:
$\frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{\frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha\text{tg}\beta}}$
Чтобы упростить эту многоэтажную дробь, умножим числитель на дробь, обратную знаменателю:
$(\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta) \cdot \frac{\text{tg}\alpha\text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta} = \frac{(\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta)\text{tg}\alpha\text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}$.
Ответ: $\frac{(\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta)\text{tg}\alpha\text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}$

4)
Исходное выражение: $(\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha)^2 - (\text{tg}\alpha - \text{ctg}\alpha)^2$.
Это выражение представляет собой разность квадратов вида $a^2 - b^2$, где $a = \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha$ и $b = \text{tg}\alpha - \text{ctg}\alpha$.
Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$.
Найдем сумму $a+b$:
$a+b = (\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha) + (\text{tg}\alpha - \text{ctg}\alpha) = \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha + \text{tg}\alpha - \text{ctg}\alpha = 2\text{tg}\alpha$.
Найдем разность $a-b$:
$a-b = (\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha) - (\text{tg}\alpha - \text{ctg}\alpha) = \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha - \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha = 2\text{ctg}\alpha$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$(a+b)(a-b) = (2\text{tg}\alpha)(2\text{ctg}\alpha) = 4\text{tg}\alpha\text{ctg}\alpha$.
Так как $\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$, то результат равен:
$4 \cdot 1 = 4$.
Ответ: $4$