Номер 765, страница 324 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 765, страница 324.

Условие.

765. Доказать тождество

$\frac{\cos^2 x}{1+\sin x} - \frac{\sin^2 x}{1-\cos x} = -\sin x - \cos x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Из него следуют два равенства, которые мы будем использовать:

1. $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$

2. $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$

Подставим эти выражения в числители дробей в левой части исходного равенства:

$\frac{\cos^2 x}{1 + \sin x} - \frac{\sin^2 x}{1 - \cos x} = \frac{1 - \sin^2 x}{1 + \sin x} - \frac{1 - \cos^2 x}{1 - \cos x}$

Теперь применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к числителям обеих дробей:

$1 - \sin^2 x = (1 - \sin x)(1 + \sin x)$

$1 - \cos^2 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x)$

Подставив разложенные на множители выражения обратно, получим:

$\frac{(1 - \sin x)(1 + \sin x)}{1 + \sin x} - \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{1 - \cos x}$

Сократим дроби. В первой дроби сокращается множитель $(1 + \sin x)$, а во второй — $(1 - \cos x)$. Это возможно при условии, что знаменатели не равны нулю, то есть $1 + \sin x \neq 0$ и $1 - \cos x \neq 0$. После сокращения получаем:

$(1 - \sin x) - (1 + \cos x)$

Далее раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$1 - \sin x - 1 - \cos x = -\sin x - \cos x$

В результате преобразования левой части мы получили выражение, которое в точности совпадает с правой частью исходного тождества:

$-\sin x - \cos x = -\sin x - \cos x$

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.