Номер 763, страница 323 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 763, страница 323.

Условие.

Упростить выражение (763–764).

763.

1) $\sin^2(\alpha + 8\pi) + \cos^2(\alpha + 10\pi)$;

2) $\cos^2(\alpha + 6\pi) + \cos^2(\alpha - 4\pi)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для упрощения выражения $\sin^2(\alpha + 8\pi) + \cos^2(\alpha + 10\pi)$ воспользуемся свойством периодичности тригонометрических функций. Функции синуса и косинуса являются периодическими с основным периодом $2\pi$. Это означает, что для любого целого числа $k$ выполняются равенства $\sin(x + 2\pi k) = \sin(x)$ и $\cos(x + 2\pi k) = \cos(x)$.
Рассмотрим каждый член выражения отдельно.
Для первого члена $\sin^2(\alpha + 8\pi)$: так как $8\pi = 4 \cdot 2\pi$, то есть $k=4$, мы можем отбросить $8\pi$.
$\sin(\alpha + 8\pi) = \sin(\alpha)$.
Следовательно, $\sin^2(\alpha + 8\pi) = \sin^2(\alpha)$.
Для второго члена $\cos^2(\alpha + 10\pi)$: так как $10\pi = 5 \cdot 2\pi$, то есть $k=5$, мы можем отбросить $10\pi$.
$\cos(\alpha + 10\pi) = \cos(\alpha)$.
Следовательно, $\cos^2(\alpha + 10\pi) = \cos^2(\alpha)$.
Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное:
$\sin^2(\alpha + 8\pi) + \cos^2(\alpha + 10\pi) = \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.
Ответ: $1$

2) Рассмотрим выражение $\cos^2(\alpha + 6\pi) + \cos^2(\alpha - 4\pi)$.
Снова используем свойство периодичности функции косинуса с периодом $2\pi$.
Упростим первый член $\cos^2(\alpha + 6\pi)$: так как $6\pi = 3 \cdot 2\pi$ (здесь $k=3$), имеем:
$\cos(\alpha + 6\pi) = \cos(\alpha)$.
Значит, $\cos^2(\alpha + 6\pi) = \cos^2(\alpha)$.
Упростим второй член $\cos^2(\alpha - 4\pi)$: так как $-4\pi = -2 \cdot 2\pi$ (здесь $k=-2$), имеем:
$\cos(\alpha - 4\pi) = \cos(\alpha)$.
Значит, $\cos^2(\alpha - 4\pi) = \cos^2(\alpha)$.
Подставим упрощенные члены в исходное выражение:
$\cos^2(\alpha + 6\pi) + \cos^2(\alpha - 4\pi) = \cos^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 2\cos^2(\alpha)$.
Ответ: $2\cos^2(\alpha)$