Номер 759, страница 323 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 759, страница 323.

Условие.

759. Выразить $\log_8 9.8$ через $a$ и $b$, если $\lg 2 = a$ и $\lg 7 = b$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы выразить $\log_8 9,8$ через $a = \lg 2$ и $b = \lg 7$, воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма. Перейдем к основанию 10 (десятичный логарифм), так как переменные $a$ и $b$ заданы именно для него.

Формула перехода к новому основанию выглядит так: $\log_c x = \frac{\log_d x}{\log_d c}$.

Применим ее к нашему выражению, выбрав в качестве нового основания $d=10$:

$\log_8 9,8 = \frac{\lg 9,8}{\lg 8}$

Теперь преобразуем числитель и знаменатель полученной дроби, чтобы выразить их через $a$ и $b$.

1. Преобразуем числитель $\lg 9,8$.

Представим число 9,8 в виде обыкновенной дроби и разложим числитель и знаменатель на простые множители:

$9,8 = \frac{98}{10} = \frac{2 \cdot 49}{10} = \frac{2 \cdot 7^2}{10}$

Теперь применим свойства логарифмов:

$\lg 9,8 = \lg\left(\frac{2 \cdot 7^2}{10}\right)$

Используя свойство логарифма частного ($\lg \frac{x}{y} = \lg x - \lg y$), получаем:

$\lg(2 \cdot 7^2) - \lg 10$

Используя свойство логарифма произведения ($\lg(xy) = \lg x + \lg y$), получаем:

$\lg 2 + \lg(7^2) - \lg 10$

Используя свойство логарифма степени ($\lg x^n = n \lg x$) и зная, что $\lg 10 = 1$, получаем:

$\lg 2 + 2\lg 7 - 1$

Подставляем заданные значения $a = \lg 2$ и $b = \lg 7$:

$\lg 9,8 = a + 2b - 1$

2. Преобразуем знаменатель $\lg 8$.

Представим число 8 в виде степени двойки: $8 = 2^3$.

Применяем свойство логарифма степени:

$\lg 8 = \lg(2^3) = 3\lg 2$

Подставляем заданное значение $a = \lg 2$:

$\lg 8 = 3a$

3. Собираем все вместе.

Подставляем полученные выражения для числителя и знаменателя в формулу перехода к новому основанию:

$\log_8 9,8 = \frac{\lg 9,8}{\lg 8} = \frac{a + 2b - 1}{3a}$

Ответ: $\frac{a + 2b - 1}{3a}$