Номер 755, страница 323 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 755, страница 323.

Условие.

755. $ \left( \frac{9a - 25a^{-1}}{3a^{\frac{1}{2}} - 5a^{-\frac{1}{2}}} - \frac{a + 7 + 10a^{-1}}{a^{\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{1}{2}}} \right)^4 \cdot $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данной задачи мы последовательно упростим выражение в скобках, а затем возведем результат в указанную степень.

Исходное выражение:

$$ \left( \frac{9a - 25a^{-1}}{3a^{\frac{1}{2}} - 5a^{-\frac{1}{2}}} - \frac{a + 7 + 10a^{-1}}{a^{\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{1}{2}}} \right)^4 $$

1. Упрощение первой дроби

Числитель первой дроби, $9a - 25a^{-1}$, является разностью квадратов, поскольку $9a = (3a^{\frac{1}{2}})^2$ и $25a^{-1} = (5a^{-\frac{1}{2}})^2$.

Применяя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, получаем:

$9a - 25a^{-1} = (3a^{\frac{1}{2}} - 5a^{-\frac{1}{2}})(3a^{\frac{1}{2}} + 5a^{-\frac{1}{2}})$.

Теперь мы можем сократить дробь:

$$ \frac{9a - 25a^{-1}}{3a^{\frac{1}{2}} - 5a^{-\frac{1}{2}}} = \frac{(3a^{\frac{1}{2}} - 5a^{-\frac{1}{2}})(3a^{\frac{1}{2}} + 5a^{-\frac{1}{2}})}{3a^{\frac{1}{2}} - 5a^{-\frac{1}{2}}} = 3a^{\frac{1}{2}} + 5a^{-\frac{1}{2}} $$

2. Упрощение второй дроби

Числитель второй дроби $a + 7 + 10a^{-1}$ можно разложить на множители. Представим его в виде произведения $(a^{\frac{1}{2}} + p \cdot a^{-\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + q \cdot a^{-\frac{1}{2}})$.

Раскрыв скобки, получим: $a + (p+q) + pqa^{-1}$.

Сравнивая это выражение с исходным числителем, мы получаем систему уравнений: $p+q=7$ и $pq=10$. По теореме Виета, $p$ и $q$ - это корни квадратного уравнения $t^2 - 7t + 10 = 0$, которые равны $2$ и $5$.

Таким образом, числитель раскладывается на множители: $a + 7 + 10a^{-1} = (a^{\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + 5a^{-\frac{1}{2}})$.

Теперь сократим вторую дробь:

$$ \frac{a + 7 + 10a^{-1}}{a^{\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{1}{2}}} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + 5a^{-\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{2}} + 5a^{-\frac{1}{2}} $$

3. Вычисление выражения в скобках

Подставим упрощенные выражения обратно в скобки:

$$ (3a^{\frac{1}{2}} + 5a^{-\frac{1}{2}}) - (a^{\frac{1}{2}} + 5a^{-\frac{1}{2}}) $$

Выполним вычитание:

$$ 3a^{\frac{1}{2}} + 5a^{-\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}} - 5a^{-\frac{1}{2}} = (3-1)a^{\frac{1}{2}} + (5-5)a^{-\frac{1}{2}} = 2a^{\frac{1}{2}} $$

4. Возведение в степень

Осталось возвести полученный результат в четвертую степень:

$$ (2a^{\frac{1}{2}})^4 = 2^4 \cdot (a^{\frac{1}{2}})^4 = 16 \cdot a^{\frac{1}{2} \cdot 4} = 16a^2 $$

Ответ: $16a^2$