Номер 751, страница 322 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 751, страница 322.

Условие.

751. 1) $6n \cdot \sqrt{\frac{m}{2n}} \cdot \sqrt{18mn};$

2) $\frac{a-1}{a^{\frac{3}{4}} + a^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{2}} + 1} \cdot a^{\frac{1}{4}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Для упрощения выражения $6n \cdot \sqrt{\frac{m}{2n}} \cdot \sqrt{18mn}$ воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$. Это свойство справедливо при условии, что подкоренные выражения неотрицательны. В данном случае $\frac{m}{2n} \ge 0$ и $18mn \ge 0$, что выполняется, когда $m$ и $n$ имеют одинаковый знак (или $m=0$, а $n \ne 0$).

1. Объединим два корня в один:

$6n \cdot \sqrt{\frac{m}{2n} \cdot 18mn}$

2. Упростим выражение под корнем. Сократим $n$ в числителе и знаменателе (при $n \ne 0$):

$\frac{m}{2n} \cdot 18mn = \frac{18m^2n}{2n} = 9m^2$

3. Теперь исходное выражение выглядит так:

$6n \cdot \sqrt{9m^2}$

4. Извлечем квадратный корень. Важно помнить, что $\sqrt{x^2} = |x|$, так как переменная $m$ может быть отрицательной.

$\sqrt{9m^2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{m^2} = 3|m|$

5. Подставим полученное значение обратно в выражение и выполним умножение:

$6n \cdot 3|m| = 18n|m|$

Ответ: $18n|m|$

2)

Упростим выражение $\frac{a-1}{a^{\frac{3}{4}} + a^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{2}} + 1} \cdot a^{\frac{1}{4}}$.

Выражение имеет смысл при $a > 0$, так как $a$ находится в основании степеней с дробными показателями, а также в знаменателях.

1. Для удобства введем замену. Пусть $x = a^{\frac{1}{4}}$. Тогда:

• $a^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}})^2 = x^2$
• $a^{\frac{3}{4}} = (a^{\frac{1}{4}})^3 = x^3$
• $a = (a^{\frac{1}{4}})^4 = x^4$

2. Подставим $x$ в исходное выражение:

$\frac{x^4-1}{x^3 + x^2} \cdot \frac{x^2 + x}{x^2 + 1} \cdot x$

3. Разложим числители и знаменатели на множители:

• $x^4-1 = (x^2-1)(x^2+1) = (x-1)(x+1)(x^2+1)$
• $x^3 + x^2 = x^2(x+1)$
• $x^2 + x = x(x+1)$

4. Подставим разложенные выражения и запишем всё в виде одной дроби:

$\frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x^2(x+1)} \cdot \frac{x(x+1)}{x^2+1} \cdot x = \frac{(x-1)(x+1)(x^2+1) \cdot x(x+1) \cdot x}{x^2(x+1)(x^2+1)}$

5. Сократим общие множители в числителе и знаменателе: $x^2$, $(x+1)$ и $(x^2+1)$.

$\frac{(x-1)\sout{(x+1)}\sout{(x^2+1)} \cdot \sout{x}(x+1) \cdot \sout{x}}{\sout{x^2}\sout{(x+1)}\sout{(x^2+1)}} = (x-1)(x+1)$

6. Упростим полученное выражение по формуле разности квадратов:

$(x-1)(x+1) = x^2 - 1$

7. Выполним обратную замену, подставив $a^{\frac{1}{2}}$ вместо $x^2$:

$x^2 - 1 = a^{\frac{1}{2}} - 1$

Ответ: $a^{\frac{1}{2}} - 1$