Номер 746, страница 322 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 746, страница 322.

Условие.

Упростить выражение (746—748).

746. 1) $\frac{a+2}{a-2} \cdot \left( \frac{2a^2-a-3}{a^2+5a+6} : \frac{2a-3}{a-2} \right);$

2) $\left(2+\frac{1}{b}\right) : \frac{8b^2+8b+2}{b^2-4b} \cdot \frac{2b+1}{b}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Упростим выражение по действиям. Сначала выполним действие в скобках — деление дробей. Для этого заменим деление на умножение на обратную дробь и разложим на множители многочлены в числителях и знаменателях.

Выражение в скобках: $\frac{2a^2 - a - 3}{a^2 + 5a + 6} : \frac{2a-3}{a-2}$

Разложим на множители числитель $2a^2 - a - 3$. Найдем корни уравнения $2a^2 - a - 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
Корни уравнения: $a_1 = \frac{-(-1) + 5}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ и $a_2 = \frac{-(-1) - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$.
Следовательно, $2a^2 - a - 3 = 2(a - \frac{3}{2})(a - (-1)) = (2a-3)(a+1)$.

Разложим на множители знаменатель $a^2 + 5a + 6$. По теореме Виета, для уравнения $a^2 + 5a + 6 = 0$ сумма корней равна $-5$, а произведение равно $6$. Корни равны $-2$ и $-3$.
Следовательно, $a^2 + 5a + 6 = (a+2)(a+3)$.

Теперь выполним действие в скобках:
$\frac{2a^2 - a - 3}{a^2 + 5a + 6} : \frac{2a-3}{a-2} = \frac{(2a-3)(a+1)}{(a+2)(a+3)} \cdot \frac{a-2}{2a-3}$
Сокращаем общий множитель $(2a-3)$:
$\frac{(a+1)(a-2)}{(a+2)(a+3)}$

Теперь умножим полученный результат на дробь, стоящую перед скобками:
$\frac{a+2}{a-2} \cdot \frac{(a+1)(a-2)}{(a+2)(a+3)} = \frac{(a+2)(a+1)(a-2)}{(a-2)(a+2)(a+3)}$

Сократим общие множители $(a+2)$ и $(a-2)$:
$\frac{\cancel{(a+2)}(a+1)\cancel{(a-2)}}{\cancel{(a-2)}\cancel{(a+2)}(a+3)} = \frac{a+1}{a+3}$

Ответ: $\frac{a+1}{a+3}$

2) Упростим выражение по действиям. Сначала выполним сложение в скобках, приведя к общему знаменателю $b$.

$2 + \frac{1}{b} = \frac{2 \cdot b}{b} + \frac{1}{b} = \frac{2b+1}{b}$

Теперь исходное выражение принимает вид:

$ \frac{2b+1}{b} : \frac{8b^2 + 8b + 2}{b^2 - 4b} \cdot \frac{2b+1}{b} $

Выполним действия в порядке их следования: сначала деление, затем умножение. Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{2b+1}{b} \cdot \frac{b^2 - 4b}{8b^2 + 8b + 2} \cdot \frac{2b+1}{b}$

Разложим на множители числители и знаменатели, где это возможно:

$b^2 - 4b = b(b-4)$

$8b^2 + 8b + 2 = 2(4b^2 + 4b + 1) = 2(2b+1)^2$ (используя формулу квадрата суммы)

Подставим разложенные выражения обратно:

$\frac{2b+1}{b} \cdot \frac{b(b-4)}{2(2b+1)^2} \cdot \frac{2b+1}{b}$

Запишем все под одной дробной чертой и сгруппируем множители:

$\frac{(2b+1) \cdot b(b-4) \cdot (2b+1)}{b \cdot 2(2b+1)^2 \cdot b} = \frac{b(b-4)(2b+1)^2}{2b^2(2b+1)^2}$

Сократим общие множители $b$ и $(2b+1)^2$:

$\frac{\cancel{b}(b-4)\cancel{(2b+1)^2}}{2b^{\cancel{2}}\cancel{(2b+1)^2}} = \frac{b-4}{2b}$

Ответ: $\frac{b-4}{2b}$