Номер 752, страница 323 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 752, страница 323.

Условие.

752. 1) $(\frac{a\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}-1} + \sqrt{a}) : \frac{a-1}{\sqrt{a}-1}$

2) $(\frac{1+b\sqrt{b}}{1+\sqrt{b}} - \sqrt{b}) \cdot \frac{1+\sqrt{b}}{1-b}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Упростим выражение $(\frac{a\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}-1} + \sqrt{a}) : \frac{a-1}{\sqrt{a}-1}$.

Сначала выполним действия в скобках. Заметим, что числитель первой дроби $a\sqrt{a}-1$ можно представить как разность кубов, поскольку $a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^3$.

$a\sqrt{a}-1 = (\sqrt{a})^3 - 1^3$

Используем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:

$(\sqrt{a})^3 - 1^3 = (\sqrt{a}-1)((\sqrt{a})^2 + \sqrt{a} \cdot 1 + 1^2) = (\sqrt{a}-1)(a+\sqrt{a}+1)$.

Теперь упростим первую дробь в скобках:

$\frac{a\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}-1} = \frac{(\sqrt{a}-1)(a+\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}-1} = a+\sqrt{a}+1$.

Подставим полученное выражение обратно в скобки и сложим с $\sqrt{a}$:

$(a+\sqrt{a}+1) + \sqrt{a} = a+2\sqrt{a}+1$.

Это выражение является полным квадратом суммы: $a+2\sqrt{a}+1 = (\sqrt{a}+1)^2$.

Далее упростим делитель $\frac{a-1}{\sqrt{a}-1}$. Числитель $a-1$ — это разность квадратов:

$a-1 = (\sqrt{a})^2 - 1^2 = (\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)$.

Таким образом, делитель равен:

$\frac{a-1}{\sqrt{a}-1} = \frac{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}-1} = \sqrt{a}+1$.

Теперь выполним деление:

$(\sqrt{a}+1)^2 : (\sqrt{a}+1) = \sqrt{a}+1$.

При этом область допустимых значений переменной $a$ определяется условиями $a \ge 0$ и $a \neq 1$.

Ответ: $\sqrt{a}+1$.

2) Упростим выражение $(\frac{1+b\sqrt{b}}{1+\sqrt{b}} - \sqrt{b}) \cdot \frac{1+\sqrt{b}}{1-b}$.

Сначала выполним действия в скобках. Числитель дроби $1+b\sqrt{b}$ можно представить как сумму кубов, поскольку $b\sqrt{b} = (\sqrt{b})^3$.

$1+b\sqrt{b} = 1^3 + (\sqrt{b})^3$.

Используем формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$:

$1^3 + (\sqrt{b})^3 = (1+\sqrt{b})(1^2 - 1\cdot\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2) = (1+\sqrt{b})(1-\sqrt{b}+b)$.

Теперь упростим дробь в скобках:

$\frac{1+b\sqrt{b}}{1+\sqrt{b}} = \frac{(1+\sqrt{b})(1-\sqrt{b}+b)}{1+\sqrt{b}} = 1-\sqrt{b}+b$.

Подставим полученное выражение обратно в скобки и вычтем $\sqrt{b}$:

$(1-\sqrt{b}+b) - \sqrt{b} = 1-2\sqrt{b}+b$.

Это выражение является полным квадратом разности: $1-2\sqrt{b}+b = (1-\sqrt{b})^2$.

Далее рассмотрим второй множитель $\frac{1+\sqrt{b}}{1-b}$. Знаменатель $1-b$ — это разность квадратов:

$1-b = 1^2 - (\sqrt{b})^2 = (1-\sqrt{b})(1+\sqrt{b})$.

Таким образом, второй множитель равен:

$\frac{1+\sqrt{b}}{1-b} = \frac{1+\sqrt{b}}{(1-\sqrt{b})(1+\sqrt{b})} = \frac{1}{1-\sqrt{b}}$.

Теперь выполним умножение:

$(1-\sqrt{b})^2 \cdot \frac{1}{1-\sqrt{b}} = 1-\sqrt{b}$.

При этом область допустимых значений переменной $b$ определяется условиями $b \ge 0$ и $b \neq 1$.

Ответ: $1-\sqrt{b}$.