Номер 754, страница 323 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 754, страница 323.
№754 (с. 323)
Условие. №754 (с. 323)
скриншот условия

754. 1) $ \left(\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a^2+ab}} - \frac{\sqrt{ab+b^2}}{\sqrt{ab+b}}\right)^{-2} - \frac{\sqrt{a^3b}+\sqrt{ab^3}}{2ab}; $
2) $ (\sqrt{a}+\sqrt{b})^{-2} \cdot \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) + \frac{2\left(a^{-\frac{1}{2}}+b^{-\frac{1}{2}}\right)}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^3}. $
Решение 1. №754 (с. 323)


Решение 2. №754 (с. 323)


Решение 3. №754 (с. 323)
1)
Обозначим ОДЗ: $a > 0$, $b > 0$.
Упростим выражение по действиям. Сначала преобразуем выражение в скобках.
1. Преобразуем первую дробь в скобках, вынося общие множители в числителе и знаменателе:
$\frac{a + \sqrt{ab}}{\sqrt{a^2 + ab}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a(a+b)}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a}\sqrt{a+b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a+b}}$
2. Преобразуем вторую дробь в скобках:
$\frac{\sqrt{ab + b^2}}{\sqrt{ab} + b} = \frac{\sqrt{b(a+b)}}{\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{b}\sqrt{a+b}}{\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$
3. Выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $\sqrt{a+b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})$:
$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a+b}} - \frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 - (\sqrt{a+b})^2}{\sqrt{a+b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{(a + 2\sqrt{ab} + b) - (a+b)}{\sqrt{a+b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a+b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}$
4. Возведем полученный результат в степень -2, что эквивалентно возведению в квадрат обратной дроби:
$\left(\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a+b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}\right)^{-2} = \left(\frac{\sqrt{a+b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{2\sqrt{ab}}\right)^{2} = \frac{(\sqrt{a+b})^2(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{(2\sqrt{ab})^2} = \frac{(a+b)(a + 2\sqrt{ab} + b)}{4ab}$
5. Упростим вторую часть исходного выражения:
$\frac{\sqrt{a^3b} + \sqrt{ab^3}}{2ab} = \frac{\sqrt{a^2 \cdot ab} + \sqrt{b^2 \cdot ab}}{2ab} = \frac{a\sqrt{ab} + b\sqrt{ab}}{2ab} = \frac{(a+b)\sqrt{ab}}{2ab}$
6. Выполним вычитание. Приведем второе слагаемое к знаменателю $4ab$, домножив числитель и знаменатель на $2\sqrt{ab}$ (это некорректно, лучше просто к $4ab$):
$\frac{(a+b)(a + 2\sqrt{ab} + b)}{4ab} - \frac{(a+b)\sqrt{ab}}{2ab} = \frac{(a+b)(a + 2\sqrt{ab} + b)}{4ab} - \frac{2(a+b)\sqrt{ab}}{4ab}$
Объединим дроби и вынесем общий множитель $(a+b)$ в числителе:
$\frac{(a+b)(a + 2\sqrt{ab} + b) - 2(a+b)\sqrt{ab}}{4ab} = \frac{(a+b)((a + 2\sqrt{ab} + b) - 2\sqrt{ab})}{4ab} = \frac{(a+b)(a+b)}{4ab} = \frac{(a+b)^2}{4ab}$
Ответ: $\frac{(a+b)^2}{4ab}$
2)
Обозначим ОДЗ: $a > 0$, $b > 0$.
Упростим выражение по слагаемым.
1. Преобразуем первое слагаемое $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{-2} \cdot \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)$:
$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{-2} = \frac{1}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}$
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b+a}{ab} = \frac{a+b}{ab}$
Перемножим полученные выражения:
$\frac{1}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} \cdot \frac{a+b}{ab} = \frac{a+b}{ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}$
2. Преобразуем второе слагаемое $\frac{2(a^{-\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^3}$:
Упростим числитель: $a^{-\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b} + \sqrt{a}}{\sqrt{ab}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{ab}}$
Подставим в дробь:
$\frac{2\left(\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{ab}}\right)}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^3} = \frac{2(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})^3} = \frac{2}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}$
3. Сложим оба упрощенных слагаемых. Приведем их к общему знаменателю $ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$:
$\frac{a+b}{ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} + \frac{2}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} = \frac{a+b}{ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} + \frac{2\sqrt{ab}}{ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}$
Сложим числители:
$\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}$
Числитель $a+2\sqrt{ab}+b$ является полным квадратом $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$.
$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} = \frac{1}{ab}$
Ответ: $\frac{1}{ab}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 754 расположенного на странице 323 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №754 (с. 323), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.