Номер 754, страница 323 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 754, страница 323.

Условие.

754. 1) $ \left(\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a^2+ab}} - \frac{\sqrt{ab+b^2}}{\sqrt{ab+b}}\right)^{-2} - \frac{\sqrt{a^3b}+\sqrt{ab^3}}{2ab}; $

2) $ (\sqrt{a}+\sqrt{b})^{-2} \cdot \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) + \frac{2\left(a^{-\frac{1}{2}}+b^{-\frac{1}{2}}\right)}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^3}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Обозначим ОДЗ: $a > 0$, $b > 0$.

Упростим выражение по действиям. Сначала преобразуем выражение в скобках.

1. Преобразуем первую дробь в скобках, вынося общие множители в числителе и знаменателе:

$\frac{a + \sqrt{ab}}{\sqrt{a^2 + ab}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a(a+b)}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a}\sqrt{a+b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a+b}}$

2. Преобразуем вторую дробь в скобках:

$\frac{\sqrt{ab + b^2}}{\sqrt{ab} + b} = \frac{\sqrt{b(a+b)}}{\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{b}\sqrt{a+b}}{\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$

3. Выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $\sqrt{a+b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})$:

$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a+b}} - \frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 - (\sqrt{a+b})^2}{\sqrt{a+b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{(a + 2\sqrt{ab} + b) - (a+b)}{\sqrt{a+b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a+b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}$

4. Возведем полученный результат в степень -2, что эквивалентно возведению в квадрат обратной дроби:

$\left(\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a+b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}\right)^{-2} = \left(\frac{\sqrt{a+b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{2\sqrt{ab}}\right)^{2} = \frac{(\sqrt{a+b})^2(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{(2\sqrt{ab})^2} = \frac{(a+b)(a + 2\sqrt{ab} + b)}{4ab}$

5. Упростим вторую часть исходного выражения:

$\frac{\sqrt{a^3b} + \sqrt{ab^3}}{2ab} = \frac{\sqrt{a^2 \cdot ab} + \sqrt{b^2 \cdot ab}}{2ab} = \frac{a\sqrt{ab} + b\sqrt{ab}}{2ab} = \frac{(a+b)\sqrt{ab}}{2ab}$

6. Выполним вычитание. Приведем второе слагаемое к знаменателю $4ab$, домножив числитель и знаменатель на $2\sqrt{ab}$ (это некорректно, лучше просто к $4ab$):

$\frac{(a+b)(a + 2\sqrt{ab} + b)}{4ab} - \frac{(a+b)\sqrt{ab}}{2ab} = \frac{(a+b)(a + 2\sqrt{ab} + b)}{4ab} - \frac{2(a+b)\sqrt{ab}}{4ab}$

Объединим дроби и вынесем общий множитель $(a+b)$ в числителе:

$\frac{(a+b)(a + 2\sqrt{ab} + b) - 2(a+b)\sqrt{ab}}{4ab} = \frac{(a+b)((a + 2\sqrt{ab} + b) - 2\sqrt{ab})}{4ab} = \frac{(a+b)(a+b)}{4ab} = \frac{(a+b)^2}{4ab}$

Ответ: $\frac{(a+b)^2}{4ab}$

2)

Обозначим ОДЗ: $a > 0$, $b > 0$.

Упростим выражение по слагаемым.

1. Преобразуем первое слагаемое $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{-2} \cdot \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)$:

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{-2} = \frac{1}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}$

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b+a}{ab} = \frac{a+b}{ab}$

Перемножим полученные выражения:

$\frac{1}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} \cdot \frac{a+b}{ab} = \frac{a+b}{ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}$

2. Преобразуем второе слагаемое $\frac{2(a^{-\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^3}$:

Упростим числитель: $a^{-\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b} + \sqrt{a}}{\sqrt{ab}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{ab}}$

Подставим в дробь:

$\frac{2\left(\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{ab}}\right)}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^3} = \frac{2(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})^3} = \frac{2}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}$

3. Сложим оба упрощенных слагаемых. Приведем их к общему знаменателю $ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$:

$\frac{a+b}{ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} + \frac{2}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} = \frac{a+b}{ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} + \frac{2\sqrt{ab}}{ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}$

Сложим числители:

$\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}$

Числитель $a+2\sqrt{ab}+b$ является полным квадратом $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$.

$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} = \frac{1}{ab}$

Ответ: $\frac{1}{ab}$