Номер 761, страница 323 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 761, страница 323.

Условие.

761. Упростить:

1) $\frac{1 + \text{tg}^2\alpha}{1 + \text{ctg}^2\alpha}$;

2) $(1 + \text{tg}\alpha)(1 + \text{ctg}\alpha) - \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Для упрощения выражения $\frac{1 + \text{tg}^2\alpha}{1 + \text{ctg}^2\alpha}$ воспользуемся основными тригонометрическими тождествами:
$1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$
$1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$
Подставим эти тождества в исходное выражение:
$\frac{1 + \text{tg}^2\alpha}{1 + \text{ctg}^2\alpha} = \frac{\frac{1}{\cos^2\alpha}}{\frac{1}{\sin^2\alpha}}$
Теперь упростим полученную многоэтажную дробь, заменив деление на дробь умножением на перевернутую дробь:
$\frac{1}{\cos^2\alpha} \cdot \frac{\sin^2\alpha}{1} = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$
По определению тангенса, $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\alpha$, следовательно, $\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \text{tg}^2\alpha$.

Ответ: $\text{tg}^2\alpha$.

2)

Рассмотрим выражение $(1 + \text{tg}\alpha)(1 + \text{ctg}\alpha) - \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.
Сначала раскроем скобки в первой части выражения:
$(1 + \text{tg}\alpha)(1 + \text{ctg}\alpha) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot \text{ctg}\alpha + \text{tg}\alpha \cdot 1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1 + \text{ctg}\alpha + \text{tg}\alpha + \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha$.
Используем тождество $\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$:
$1 + \text{ctg}\alpha + \text{tg}\alpha + 1 = 2 + \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha$.
Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
$2 + \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha - \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.
Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус: $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
$2 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.
Приведем дроби $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ к общему знаменателю $\sin\alpha\cos\alpha$:
$\frac{\sin\alpha \cdot \sin\alpha}{\cos\alpha \cdot \sin\alpha} + \frac{\cos\alpha \cdot \cos\alpha}{\sin\alpha \cdot \cos\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$.
Применив основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:
$\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.
Подставим полученный результат в наше выражение:
$2 + \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} - \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.
Две последние дроби взаимно уничтожаются:
$2 + 0 = 2$.

Ответ: 2.