Номер 761, страница 323 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 761, страница 323.
№761 (с. 323)
Условие. №761 (с. 323)
скриншот условия

761. Упростить:
1) $\frac{1 + \text{tg}^2\alpha}{1 + \text{ctg}^2\alpha}$;
2) $(1 + \text{tg}\alpha)(1 + \text{ctg}\alpha) - \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.
Решение 1. №761 (с. 323)


Решение 2. №761 (с. 323)

Решение 3. №761 (с. 323)
1)
Для упрощения выражения $\frac{1 + \text{tg}^2\alpha}{1 + \text{ctg}^2\alpha}$ воспользуемся основными тригонометрическими тождествами:
$1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$
$1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$
Подставим эти тождества в исходное выражение:
$\frac{1 + \text{tg}^2\alpha}{1 + \text{ctg}^2\alpha} = \frac{\frac{1}{\cos^2\alpha}}{\frac{1}{\sin^2\alpha}}$
Теперь упростим полученную многоэтажную дробь, заменив деление на дробь умножением на перевернутую дробь:
$\frac{1}{\cos^2\alpha} \cdot \frac{\sin^2\alpha}{1} = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$
По определению тангенса, $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\alpha$, следовательно, $\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \text{tg}^2\alpha$.
Ответ: $\text{tg}^2\alpha$.
2)
Рассмотрим выражение $(1 + \text{tg}\alpha)(1 + \text{ctg}\alpha) - \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.
Сначала раскроем скобки в первой части выражения:
$(1 + \text{tg}\alpha)(1 + \text{ctg}\alpha) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot \text{ctg}\alpha + \text{tg}\alpha \cdot 1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1 + \text{ctg}\alpha + \text{tg}\alpha + \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha$.
Используем тождество $\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$:
$1 + \text{ctg}\alpha + \text{tg}\alpha + 1 = 2 + \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha$.
Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
$2 + \text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha - \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.
Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус: $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
$2 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.
Приведем дроби $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ к общему знаменателю $\sin\alpha\cos\alpha$:
$\frac{\sin\alpha \cdot \sin\alpha}{\cos\alpha \cdot \sin\alpha} + \frac{\cos\alpha \cdot \cos\alpha}{\sin\alpha \cdot \cos\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$.
Применив основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:
$\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.
Подставим полученный результат в наше выражение:
$2 + \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} - \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.
Две последние дроби взаимно уничтожаются:
$2 + 0 = 2$.
Ответ: 2.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 761 расположенного на странице 323 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №761 (с. 323), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.