Номер 767, страница 324 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 767, страница 324.

Условие.

767. Доказать, что если $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, то:

1) $\sin\alpha + \sin\beta - \sin\gamma = 4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}$;

2) $\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Докажем тождество $sin \alpha + sin \beta - sin \gamma = 4 \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}$ при условии $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.
Преобразуем левую часть равенства. Сначала применим формулу суммы синусов для первых двух слагаемых: $sin \alpha + sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
$sin \alpha + sin \beta - sin \gamma = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - sin \gamma$.
Из условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ выразим $\alpha+\beta = \pi - \gamma$, тогда $\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}$.
Используя формулу приведения $sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x$, получим: $sin\frac{\alpha+\beta}{2} = \cos\frac{\gamma}{2}$.
Подставим это в наше выражение: $2 \cos\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - sin \gamma$.
Далее, используем формулу синуса двойного угла для $sin \gamma = 2 \sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}$.
Выражение примет вид: $2 \cos\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - 2 \sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}$.
Вынесем общий множитель $2 \cos\frac{\gamma}{2}$: $2 \cos\frac{\gamma}{2}\left(\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \sin\frac{\gamma}{2}\right)$.
Теперь преобразуем $sin\frac{\gamma}{2}$. Из условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ следует, что $\frac{\gamma}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha+\beta}{2}$.
По формуле приведения $sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x$, имеем $sin\frac{\gamma}{2} = \cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.
Подставим в скобки: $2 \cos\frac{\gamma}{2}\left(\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$.
К выражению в скобках применим формулу разности косинусов: $\cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$.
Для $x = \frac{\alpha-\beta}{2}$ и $y = \frac{\alpha+\beta}{2}$ получаем:$\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos\frac{\alpha+\beta}{2} = -2 \sin\left(\frac{\frac{\alpha-\beta}{2} + \frac{\alpha+\beta}{2}}{2}\right)\sin\left(\frac{\frac{\alpha-\beta}{2} - \frac{\alpha+\beta}{2}}{2}\right) = -2 \sin\frac{\alpha}{2}\sin\left(-\frac{\beta}{2}\right)$.
Так как $sin(-z) = -sin(z)$, то $-2 \sin\frac{\alpha}{2}\sin\left(-\frac{\beta}{2}\right) = 2 \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}$.
В итоге получаем: $2 \cos\frac{\gamma}{2} \cdot \left(2 \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\right) = 4 \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}$.
Мы преобразовали левую часть к правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $sin 2\alpha + sin 2\beta + sin 2\gamma = 4 \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma$ при условии $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.
Преобразуем левую часть. Применим формулу суммы синусов: $sin 2\alpha + sin 2\beta = 2 \sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$.
$sin 2\alpha + sin 2\beta + sin 2\gamma = 2 \sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) + sin 2\gamma$.
Из условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ следует, что $\alpha+\beta = \pi - \gamma$.
По формуле приведения $sin(\pi - x) = sin x$, получаем: $sin(\alpha+\beta) = sin \gamma$.
Подставим в выражение: $2 \sin\gamma \cos(\alpha-\beta) + sin 2\gamma$.
Используем формулу синуса двойного угла $sin 2\gamma = 2 \sin\gamma \cos\gamma$.
$2 \sin\gamma \cos(\alpha-\beta) + 2 \sin\gamma \cos\gamma$.
Вынесем общий множитель $2 \sin\gamma$: $2 \sin\gamma \left(\cos(\alpha-\beta) + \cos\gamma\right)$.
Теперь преобразуем $\cos\gamma$. Из условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ имеем $\gamma = \pi - (\alpha+\beta)$.
По формуле приведения $\cos(\pi - x) = -\cos x$, получаем $\cos\gamma = -\cos(\alpha+\beta)$.
Подставим в скобки: $2 \sin\gamma \left(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)\right)$.
Применим формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$.
Для $x = \alpha-\beta$ и $y = \alpha+\beta$ получаем:
$\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) = -2 \sin\left(\frac{\alpha-\beta + \alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta - (\alpha+\beta)}{2}\right) = -2 \sin\alpha \sin(-\beta)$.
Так как $sin(-z) = -sin(z)$, то $-2 \sin\alpha \sin(-\beta) = 2 \sin\alpha \sin\beta$.
В итоге получаем: $2 \sin\gamma \cdot (2 \sin\alpha \sin\beta) = 4 \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma$.
Мы преобразовали левую часть к правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.